[논문 리뷰] Quantum simulations of one dimensional quantum systems

Rolando D. Somma|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 21.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 29인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 양자 조화 진동자(QHO)를 포함한 일차원 양자 시스템을 시뮬레이션하기 위한 양자 알고리즘을 제시한다. 이는 리 대수 구조를 활용한 고차수 트로터-수즈키 근사의 정교한 분석을 통해 실현되며, $ O(\exp(\gamma\sqrt{\log(N/\epsilon)})) $ 의 초지수적 복잡도를 달성한다. 이는 고전적 방법에 비해 초다항적 양자 속도 향상을 나타내며, 가우시안 유사 진폭을 갖는 QHO 고유상태를 다항시간 내에 준비하는 알고리즘을 제공한다.

ABSTRACT

We present quantum algorithms for the simulation of quantum systems in one spatial dimension, which result in quantum speedups that range from superpolynomial to polynomial. We first describe a method to simulate the evolution of the quantum harmonic oscillator (QHO) based on a refined analysis of the Trotter-Suzuki formula that exploits the Lie algebra structure. For total evolution time $t$ and precision $ε>0$, the complexity of our method is $ O(\exp(γ\sqrt{\log(N/ε)}))$, where $γ>0$ is a constant and $N$ is the quantum number associated with an "energy cutoff" of the initial state. Remarkably, this complexity is subpolynomial in $N/ε$. We also provide a method to prepare discrete versions of the eigenstates of the QHO of complexity polynomial in $\log(N)/ε$, where $N$ is the dimension or number of points in the discretization. This method may be of independent interest as it provides a way to prepare, e.g., quantum states with Gaussian-like amplitudes. Next, we consider a system with a quartic potential. Our numerical simulations suggest a method for simulating the evolution of sublinear complexity $ ilde O(N^{1/3+o(1)})$, for constant $t$ and $ε$. We also analyze complex one-dimensional systems and prove a complexity bound $ ilde O(N)$, under fairly general assumptions. Our quantum algorithms may find applications in other problems. As an example, we discuss the fractional Fourier transform, a generalization of the Fourier transform that is useful for signal analysis and can be formulated in terms of the evolution of the QHO.

연구 동기 및 목표

• 연속 변수 양자 시스템, 특히 무한한 해밀토니안을 가진 일차원 양자 시스템을 효율적으로 시뮬레이션하기 위한 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 에너지 또는 시스템 크기와 다항적으로 스케일링되는 기존의 양자 시뮬레이션 방법의 한계를 극복하는 것.
• 무한한 해밀토니안을 가진 양자 조화 진동자(QHO)에 대해 시뮬레이션 시간과 정밀도에서 초지수적 복잡도를 달성함으로써, 노-패스트포워딩 정리에 도전하는 것.
• 일반적인 일차원 시스템과 같은 더 복잡한 포텐셜, 예를 들어 4차 포텐셜에 대해 이러한 기법을 확장하는 것.
• 제이نز-커밍스 해밀토니안의 시뮬레이션을 통해 QHO 고유상태를 가우시안 유사 진폭 분포로 효율적으로 준비하는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 논문은 QHO의 리 대수 구조, 특히 $ \mathfrak{sp}(2) $ 대수에 맞춰진 고차수 트로터-수즈키 근사의 정교한 분석을 사용한다.
• 교환자 성질을 활용하여 트로터-수즈키 분해의 오차를 제한함으로써, 최악의 추정치보다 훨씬 작은 오차를 달성한다.
• 연속적인 QHO를 근사하기 위해 에너지 절단값에 해당하는 차원 $ N $ 의 이산 힐베르트 공간을 사용한다.
• 고유상태 준비를 위해, 고차수 트로터-수즈키 분해를 사용하여 이산화된 제이نز-커밍스 해밀토니안 하에서의 시간 진동을 시뮬레이션한다.
• 4차 포텐셜과 같은 더 복잡한 시스템의 경우, 수치적 증거를 통해 일정한 진동 시간과 정밀도를 가정할 때 복잡도가 $ \tilde{O}(N^{1/3+o(1)}) $ 임을 확인한다.
• 일반적인 일차원 시스템의 경우, 최근의 테일러 급수 기반 시뮬레이션 기법을 적용하여 일반적인 가정 하에 $ \tilde{O}(N) $ 의 복잡도를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노-패스트포워딩 정리에도 불구하고, 에너지 척도 $ N $ 에 대해 QHO의 양자 시뮬레이션에서 초지수적 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 QHO의 리 대수 구조를 활용하여 트로터-수즈키 근사 오차를 최악의 추정치를 초월해 감소시킬 수 있는가?
• RQ3 유사한 접근법이 4차 포텐셜, 예를 들어 $ \phi^4 $-형 해밀토니안을 가진 시스템에 대해 다항 시간 양자 속도 향상을 제공하는가?
• RQ4 제이즈-커밍스 모델의 시뮬레이션 기반 방법을 통해 QHO 고유상태를 가우시안 유사 진폭 분포로 효율적으로 준비할 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 일반 조건 하에서 $ \tilde{O}(N) $ 복잡도로 다른 연속 변수 양자 시스템으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• QHO의 시간 진동 시뮬레이션을 위한 양자 알고리즘은 $ O(\exp(\gamma\sqrt{\log(N/\epsilon)})) $ 의 복잡도를 달성하며, 이는 $ \log(N) $ 에 대해 초지수적이며 고전적 방법에 비해 초다항적 속도 향상을 나타낸다.
• 이 복잡도는 $ N/\epsilon $ 에 대해 다항식 이하이며, 기저가 되는 $ \mathfrak{sp}(2) $ 리 대수 구조를 활용함으로써 노-패스트포워딩 정리를 우회한다.
• QHO 고유상태 준비를 위한 알고리즘은 $ \log(N)/\epsilon $ 에 대해 다항식 복잡도를 가지며, 결과적으로 얻어진 상태는 가우시안 유사 진폭 분포를 보인다.
• 수치적 시뮬레이션은 4차 포텐셜의 복잡도가 $ \tilde{O}(N^{1/3+o(1)}) $ 임을 시사하며, 이는 고전적 방법에 비해 다항 시간 양자 속도 향상을 나타낸다.
• 일반적인 일차원 시스템의 경우, 일반적인 가정 하에 테일러 급수 기반 시뮬레이션 기법을 사용하여 $ \tilde{O}(N) $ 의 복잡도를 달성한다.
• 결과적으로, 유사한 초지수적 알고리즘이 다른 연속 변수 양자 시스템, 특히 풍부한 대수적 구조를 가진 시스템에 대해서도 가능할 수 있음을 시사한다.