[논문 리뷰] Quantum Speedup for the Maximum Cut Problem

Weng-Long Chang, Renata Wong외 4명|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 최대 컷 문제를 위한 새로운 양자 알고리즘을 제안하며, 고유한 양자 회로를 사용해 컷에 속하는 간선 수를 세고 그 결과를 고려해 그로버 검색을 통합함으로써 고전적 정확 알고리즘 대비 제곱근 속도 향상을 달성한다. 알고리즘은 $ O(\tilde{2}^{n/2}/r) $ 시간과 $ O(m^2) $ 공간 복잡도를 가지며, IBM의 양자 시뮬레이터에서 실험적으로 검증되어 3정점 그래프에 대해 최대 컷을 1/2 초과의 확률로 정확히 식별함을 보였다.

ABSTRACT

Given an undirected, unweighted graph with $n$ vertices and $m$ edges, the maximum cut problem is to find a partition of the $n$ vertices into disjoint subsets $V_1$ and $V_2$ such that the number of edges between them is as large as possible. Classically, it is an NP-complete problem, which has potential applications ranging from circuit layout design, statistical physics, computer vision, machine learning and network science to clustering. In this paper, we propose a quantum algorithm to solve the maximum cut problem for any graph $G$ with a quadratic speedup over its classical counterparts, where the temporal and spatial complexities are reduced to, respectively, $O(\sqrt{2^n/r})$ and $O(m^2)$. With respect to oracle-related quantum algorithms for NP-complete problems, we identify our algorithm as optimal. Furthermore, to justify the feasibility of the proposed algorithm, we successfully solve a typical maximum cut problem for a graph with three vertices and two edges by carrying out experiments on IBM's quantum computer.

연구 동기 및 목표

• NP-완전 최대 컷 문제에 대해 증명 가능 속도 향상을 제공하는 양자 알고리즘을 개발하기.
• 보조 큐비트와 조건부 연산을 사용해 컷에 속하는 간선 수를 효율적으로 계산하는 양자 회로를 설계하기.
• 해결책 강화를 위해 컷 평가 회로를 그로버 검색 프레임워크에 통합하기.
• IBM의 양자 시뮬레이터를 사용해 실제 양자 플랫폼에서 알고리즘의 실현 가능성을 검증하기.
• 이 알고리즘이 NP-완전 문제에 대해 오рак루 기반 양자 접근 방식 중 최적이 되는지 보여주기.

제안 방법

• 알고리즘은 CFE 및 CSE라는 양자 회로를 사용해 각 간선의 기여도를 큐비트 쌍에 대한 조건부 논리 연산을 통해 평가함으로써 컷에 속하는 간선 수를 계산한다.
• 보조 큐비트 $ z_{i,j} $ 는 각 간선을 처리한 후 컷에 속하는 간선 수의 누적값을 저장하여 확장 가능한 수를 세는 데 기여한다.
• 이러한 회로를 그로버의 확률 증폭 절차에 통합하여 최대 컷 상태를 측정할 확률를 증폭시킨다.
• 초기 상태는 $ x_d $, $ z_{i,j} $ 및 보조 큐비트에 헤이즈드 게이트를 적용하여 준비되며, 이후 반복적인 그로버 단계를 수행한다.
• 목표 컷 크기 $ z_{m,t} $ 에 따라 조건부로 CNOT 게이트를 적용하여 보조 큐비트를 반전시켜 해를 마킹하고, 이를 확산을 통해 증폭한다.
• 알고리즘은 오라클 기반의 최대 컷 수 $ R $ 를 추정하기 위해 양자 수세기 기법을 사용하며, 이는 그로버 반복 횟수를 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확한 최대 컷 문제 해결에 대해 양자 알고리즘이 제곱근 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ2 조건부 연산을 사용한 양자 회로를 통해 컷에 속하는 간선 수를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 제안된 양자 알고리즘이 NP-완전 문제에 대해 오라클 기반 접근 방식 중 최적이 되는가?
• RQ4 알고리즘은 실제 양자 계산 플랫폼에서 구현되고 검증될 수 있는가?
• RQ5 수렴하기 위해 필요한 그로버 반복 횟수는 얼마이며, 정점 수에 따라 어떻게 스케일링되는가?

주요 결과

• 제안된 양자 알고리즘은 제곱근 속도 향상을 달성하여 고전적 복잡도 $ O(2^n) $ 에서 $ O(\sqrt{2^n / r}) $ 로 감소시키며, 여기서 $ r $ 은 최대 컷 해의 수이다.
• 알고리즘은 $ O(m^2) $ 의 공간 복잡도를 가지며, 희박한 그래프의 경우 큐비트 사용 측면에서 효율적이다.
• 이 알고리즘은 오라클 기반 양자 알고리즘 중 최적이며, 그로버 검색의 이론적 하한선과 일치함을 입증하였다.
• 알고리즘은 Qiskit를 사용해 IBM의 양자 시뮬레이터에서 성공적으로 구현 및 테스트되었으며, 3정점 그래프에 대해 최대 컷을 1/2 초과의 확률로 정확히 식별하였다.
• 실험 결과, 동일한 최대 컷을 나타내는 비트스트링 010과 101이 높은 확률로 측정되어 정확한 해 식별이 이루어졌음을 확인하였다.
• 상태 준비, 오라클 마킹, 역계산, 확산을 포함한 전체 회로는 단일 실행에서 $ \frac{\pi}{4} \sqrt{2^n / R} $ 번의 반복을 통해 실행되었으며, 여기서 예제 그래프에 대해 $ R = 2 $ 이다.