[논문 리뷰] Quantum state preparation without coherent arithmetic

Sam McArdle, András Gilyén외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 알려진 함수로 정의된 진폭을 가진 상태를 준비하기 위해 양자 고유값 변환(QET)을 사용하는 양자 상태 준비 방법을 제시한다. 이 방법은 공명 산술 또는 진폭 오라클을 필요로 하지 않으며, 블록 인코딩을 통해 사인 함수를 처리하고 QET를 통해 다항식 또는 푸리에 근사법을 적용함으로써 애너실라 큐비트 수를 4개(정규성 함수의 경우 3개)로 줄인다. 이는 최신 기술 대비 큐비트 수를 한 순위 정도 감소시키며, 잘 근사 가능한 함수에 대해서는 Toffoli 게이트 수가 유사하게 유지된다.

ABSTRACT

We introduce a versatile method for preparing a quantum state whose amplitudes are given by some known function. Unlike existing approaches, our method does not require handcrafted reversible arithmetic circuits, or quantum table reads, to encode the function values. Instead, we use a template quantum eigenvalue transformation circuit to convert a low cost block encoding of the sine function into the desired function. Our method uses only 4 ancilla qubits (3 if the approximating polynomial has definite parity), providing order-of-magnitude qubit count reductions compared to state-of-the-art approaches, while using a similar number of gates if the function can be well represented by a polynomial or Fourier approximation. Like black-box methods, the complexity of our approach depends on the 'L2-norm filling-fraction' of the function. We demonstrate the algorithmic utility of our method, including preparing Gaussian and Kaiser window states.

연구 동기 및 목표

• 연속 함수로 정의된 진폭을 가진 양자 상태를 스케일러블하고 저자원으로 준비하는 방법을 개발하기 위해.
• 각 함수에 맞게 수작업으로 공명 산술 회로나 양자 메모리 로드를 구성할 필요를 제거하기 위해.
• 애너실라 큐비트 사용을 최소화하여 고장 내성 양자 알고리즘의 큐비트 오버헤드를 줄이기 위해.
• 가우시안, 카이저 윈도, 사이클로이드와 같은 다양한 함수에 적용 가능한 통합 회로 템플릿을 제공하기 위해.
• 양자 특이값 변환(QSVT)을 통한 다항식 또는 푸리에 급수 근사법을 이용한 효율적인 상태 준비 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 사인 함수의 저비용 블록 인코딩인 $ A = \sum_x \sin(x/N)\ket{x}\!\bra{x} $ 를 기본 자원으로 사용한다.
• QET를 적용하여 $ A $ 의 고유값을 $ f((b-a)\arcsin(y)+a) $ 의 다항식 또는 푸리에 근사법을 통해 원하는 함수 값으로 변환한다.
• 이 변환은 $ 4 $ 개의 애너실라 큐비트(근사 다항식이 정규성을 가지는 경우 3개)를 사용하는 QET 회로 템플릿으로 구현된다.
• 푸리에 기반 근사법의 경우 $ d $-차수의 푸리에 급수를 사용하고, $ U(A) $ 와 $ U(A)^\dagger $ 를 각각 $ d $ 번 적용하며, $ 8d+4 $ 개의 단일 큐비트 회전을 적용한다.
• 정규화는 진폭 강화를 통해 보정되며, 이는 $ 1 $ 라운드로 수행되며, 충전 비율 $ \mathcal{F}_{\tilde{f}}^{[\infty]} \lesssim 1 $ 일 때 추가로 $ 1 $ 개의 큐비트가 필요하다.
• 함수 값의 이산화를 피함으로써 고정점 산술 대신 연속적 근사를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 각 함수에 맞게 맞춤형 공명 산술 회로를 구성하지 않고도 양자 상태 준비를 달성할 수 있는가?
• RQ2 상태 준비 과정에서 애너실라 큐비트 수를 얼마나 줄일 수 있으며, 게이트 수 효율성은 유지되는가?
• RQ3 가우시안, 카이저 윈도, 사이클로이드와 같은 다양한 함수에 대해 동일한 회로 템플릿을 재사용할 수 있는가?
• RQ4 비연속적이거나 비주기적인 함수들, 예를 들어 $ \sqrt{\bar{x}} $ 와 같은 함수에 대해 이 방법은 어떻게 성능을 보이는가?
• RQ5 이 QET 기반 프레임워크를 사용해 다변수 함수를 준비하는 데 드는 자원 비용은 얼마인가?

주요 결과

• 이 방법은 애너실라 큐비트 수를 4개(정규성 함수의 경우 3개)로 줄여 최신 기술 대비 순위 수준의 절감을 이룬다.
• 32 큐비트 가우시안 상태의 경우, 약 $ 1.2 \times 10^5 $ 개의 Toffoli 게이트와 4개의 애너실라 큐비트를 필요로 하며, 이전 방법과 유사한 게이트 수를 유지하면서 큐비트 수가 크게 감소한다.
• 32 큐비트 카이저 윈도 상태의 경우, $ 1.5 \times 10^5 $ 개의 Toffoli 게이트와 4개의 애너실라 큐비트를 사용하며, 다시 한번 큐비트 비용이 감소한다.
• 범위 $ \bar{x} \in [0, 2\pi] $ 에서 사이클로이드 함수에 대해 $ d=120 $ 인 푸리에 급수는 $ L_2 $ 오차 $ < 10^{-3} $ 을 달성하며, 약 $ \approx 7.35 \times 10^5 $ 개의 Toffoli 게이트와 2개의 애너실라 큐비트가 필요하다.
• 이 방법은 $ \tanh $ 와 $ \mathrm{cycloid} $ 와 같은 함수를 준비할 수 있으며, 이는 닫힌 형태의 적분이 없어 블랙박스 또는 GR 기반 진폭 오라클로 구현하기 어려운 경우에 유리하다.
• 0에서의 미분 불가능성과 푸리에 급수에서의 기브스 현상으로 인해 $ \sqrt{\bar{x}} $ 는 이 방법으로 효율적이지 않으며, 이러한 경우 별도의 방법이 필요함을 시사한다.