[논문 리뷰] Quantum State Tomography for Matrix Product Density Operators

Zhen Qin, Casey Jameson외 3명|arXiv (Cornell University)|2023. 06. 15.

Quantum Information and Cryptography인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일차원 양자 상태의 상수 결합 차수를 가진 행렬 곱 연산자(MPO)로 근사된 경우에 대해 효율적인 양자 상태 재구성(QST)의 이론적 보장을 수립한다. 압축 감지 및 경험 과정 이론을 활용하여, 조건부로 통계적 노이즈가 존재하는 단일 측정에서 헤어 무작위 사영 측정을 사용할 경우, 상태 사본의 수가 큼직한 다항수로 증가함에도 불구하고 안정적인 MPO 재구성이 가능하다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

The reconstruction of quantum states from experimental measurements, often achieved using quantum state tomography (QST), is crucial for the verification and benchmarking of quantum devices. However, performing QST for a generic unstructured quantum state requires an enormous number of state copies that grows \emph{exponentially} with the number of individual quanta in the system, even for the most optimal measurement settings. Fortunately, many physical quantum states, such as states generated by noisy, intermediate-scale quantum computers, are usually structured. In one dimension, such states are expected to be well approximated by matrix product operators (MPOs) with a finite matrix/bond dimension independent of the number of qubits, therefore enabling efficient state representation. Nevertheless, it is still unclear whether efficient QST can be performed for these states in general. In this paper, we attempt to bridge this gap and establish theoretical guarantees for the stable recovery of MPOs using tools from compressive sensing and the theory of empirical processes. We begin by studying two types of random measurement settings: Gaussian measurements and Haar random rank-one Positive Operator Valued Measures (POVMs). We show that the information contained in an MPO with a finite bond dimension can be preserved using a number of random measurements that depends only \emph{linearly} on the number of qubits, assuming no statistical error of the measurements. We then study MPO-based QST with physical quantum measurements through Haar random rank-one POVMs that can be implemented on quantum computers. We prove that only a \emph{polynomial} number of state copies in the number of qubits is required to guarantee bounded recovery error of an MPO state.

연구 동기 및 목표

• 대규모 양자 시스템에 대한 표준 양자 상태 재구성(QST)의 지수적 자원 비용 문제를 해결하기 위해.
• 행렬 곱 연산자(MPO)로 구조화된 양자 상태를 재구성하기 위해 필요한 상태 사본 수에 대한 이론적 한계를 설정하기 위해.
• 상수 결합 차수를 가진 MPO 상태가 다항수의 상태 사본 수만으로 안정적으로 복원될 수 있음을 보여주기 위해.
• 헤어 무작위 사영 측정이 단일 측정에서 통계적 노이즈가 존재하더라도 효율적인 QST를 가능하게 함을 보여주기 위해.
• 현재의 NISQ 장치에 더 적합한 실용적인 측정 설정, 예를 들어 t-디자인으로 이 프레임워크를 일반화하기 위해.

제안 방법

• 압축 감지 및 경험 과정 이론 도구를 사용하여 무작위 측정에서의 MPO 복원 안정성 분석을 수행한다.
• 두 가지 측정 모델인 가우시안 측정과 헤어 무작위 사영 측정을 분석하여, 정보 보존에 있어 큼직한 큐비트 수에 대해 선형 의존성을 보인다.
• 통계적 오차를 경험 측정에서 통제하기 위해 베르누이 타입 부등식과 다항분포 농도 한계를 적용한다.
• 무작위 측정 집합 하에서 트레이스 노름 최소화 프레임워크를 사용하여 복원 오차의 확률적 한계를 유도한다.
• 각 무작위 기저에 대해 한 번의 측정만으로도 유한한 오차 복원이 가능함을 입증한다. 이는 조건부로 경험적 추정치의 집중성 덕분이다.
• 지역 무작위 또는 t-디자인 측정으로 결과를 일반화하여 현재 양자 하드웨어에서 더 실용적인 측정 설정에 적용 가능하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상수 결합 차수를 가진 MPO 근사 상태에 대해 양자 상태 재구성을 효율적으로 수행할 수 있는가?
• RQ2 무작위 측정을 사용할 경우 MPO 상태를 안정적으로 복원하기 위해 필요한 최소한의 상태 사본 수는 얼마인가?
• RQ3 통계적 노이즈가 존재함에도 불구하고 헤어 무작위 사영 측정을 사용해 다항수의 사본 수만으로 QST를 수행할 수 있는가?
• RQ4 각 기저에 대해 단일 측정만으로도 유한한 복원 오차를 달성할 수 있는가?
• RQ5 현재 NISQ 장치에 적합한 실용적인 측정 설정, 예를 들어 t-디자인으로 이 프레임워크를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• MPO 정보를 유지하기 위해 필요한 무작위 측정 수는 큼직한 큐비트 수에 대해 선형적으로 증가하며, 지수적으로 증가하지 않는다.
• 헤어 무작위 사영 측정 하에서 MPO 상태의 유한한 복원 오차를 보장하기 위해 큼직한 큐비트 수에 대해 다항수의 상태 사본 수만 필요하다.
• 경험적 추정치의 집중성 덕분에 각 측정 기저를 단 한 번만 사용해도 안정적인 복원이 가능하다.
• 다항분포 농도 부등식과 경험 과정 기법을 사용하여 복원 오차에 대한 이론적 한계를 도출하였다.
• 프레임워크는 t-디자인 및 국소 무작위 측정으로 일반화되어, 근접한 양자 장치에 적용 가능하다.
• 이 결과들은 MPO 상태 재구성에 대해 처음으로 엄밀한 다항수 샘플 복잡도 한계를 제공하며, 핵심 이론적 격차를 메운다.