[논문 리뷰] Quantum supremacy and high-dimensional integration

Juan Miguel Arrazola, Patrick Rebentrost외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연속변수 양자계산과 고차원 적분 사이의 직접적인 연결 고리를 설정한다. CV-IQP 회로의 출력 확률이 고차원에서 진동하는 함수의 적분과 대응됨을 보여주며, 이러한 적분이 고전적으로 어렵다는 것을 증명한다. 이는 #P-난이도 문제들과 임의의 유계 함수들과 동치이며, 다항식 계층이 세 번째 수준으로 붕괴하지 않는 한, 고전적으로 CV-IQP 회로에서의 근사적 샘플링을 효율적으로 시뮬레이션할 수 없다는 것을 의미한다. 이는 유한한 압축과 측정 정밀도 조건 하에서도 성립한다.

ABSTRACT

We establish a connection between continuous-variable quantum computing and high-dimensional integration by showing that the outcome probabilities of continuous-variable instantaneous quantum polynomial (CV-IQP) circuits are given by integrals of oscillating functions in large dimensions. We prove two results related to the classical hardness of evaluating these integrals: (i) we show that there exist circuits such that these integrals are approximations of a weighted sum of #P-hard problems and (ii) we prove that calculating these integrals is as hard as calculating integrals of arbitrary bounded functions. We then leverage these results to show that, given a plausible conjecture about the hardness of computing the integrals, approximate sampling from CV-IQP circuits cannot be done in polynomial time on a classical computer unless the polynomial hierarchy collapses to the third level. Our results hold even in the presence of finite squeezing and limited measurement precision, without an explicit need for fault-tolerance.

연구 동기 및 목표

• 연속변수 양자계산과 고차원 적분 사이의 이론적 연결 고리를 수립하기 위해.
• CV-IQP 회로의 출력 확률이 고차원 공간에서 진동하는 함수의 적분과 대응됨을 보여주기 위해.
• 이러한 적분을 평가하는 것이 #P-난이도 문제들과 임의의 유계 함수들을 해결하는 것과 동일한 난이도임을 보여주기 위해.
• 합리적인 복잡도 이론적 추측 하에, CV-IQP 회로에서의 근사적 샘플링이 고전적으로 비가능함을 증명하기 위해.
• 이러한 양자 우월성 결과가 유한한 압축과 측정 정밀도 조건 하에서도 성립하며, 고전적 오류 수정이 필요하지 않다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 모멘텀 압축 상태를 입력으로 사용하고, 위치 사각형에서 대각형 유니터리 연산을 적용하며, 하모닉 측정을 수행하는 CV-IQP 회로를 모델링한다.
• 출력 진폭을 고차원 적분으로 표현한다: $ A_f(s) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{D_L} e^{if(q)} e^{-is\cdot q} dq^n $, 여기서 $ f $ 는 다항식이다.
• 일부 다항식 $ f $ 에 대해, 이 적분이 임의의 정밀도로 #P-난이도 문제들의 가중합을 근사함을 증명한다.
• 이러한 적분을 계산하는 것이 임의의 유계 함수의 적분을 계산하는 것과 동일한 난이도임을 보여주며, 이는 최악의 경우에서 지수적 고전적 자원이 필요하다는 것으로 알려져 있다.
• Payley-Zigmund 부등식을 사용하여 반대 농도 경계를 적용하여, 출력 확률이 일정 확률로 너무 작지 않음을 보여준다.
• 마르코프 부등식과 농도 추론을 사용하여 유한한 샘플링으로부터 출력 확률 추정의 오차를 제한한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CV-IQP 회로의 출력 확률은 진동하는 함수의 고차원 적분으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 이러한 적분은 고전적 컴퓨터에게 계산적으로 어렵고, 만약 그렇다면 어떤 복잡도 클래스에 속하는가?
• RQ3 CV-IQP 회로의 양자 우월성 결과는 유한한 압축과 측정 정밀도와 같은 현실적인 조건에서도 성립하는가?
• RQ4 표준 복잡도 이론적 가정 하에, CV-IQP 회로에서의 근사적 샘플링은 고전적으로 비가능한가?
• RQ5 CV-IQP 회로는 고차원 적분의 실용적 의의를 가진 문제들과 관련이 있는가?

주요 결과

• CV-IQP 회로의 출력 확률은 고차원 공간에서 진동하는 함수의 적분과 수학적으로 동치이다.
• 일부 CV-IQP 회로에 대해, 해당되는 적분은 임의의 정밀도로 #P-난이도 문제들의 가중합을 근사할 수 있다.
• 이러한 적분을 평가하는 것은 임의의 유계 함수의 적분을 계산하는 것과 동일한 난이도이며, 이는 최악의 경우에서 지수적 고전적 시간이 필요하다는 것으로 알려져 있다.
• 이러한 적분이 평균적으로 #P-난이도로 근사 가능하다면, 다항식 계층이 세 번째 수준으로 붕괴하지 않는 한 어떤 고전적 알고리즘도 CV-IQP 회로의 출력 분포에서 효율적으로 샘플링할 수 없다.
• 유한한 압축과 제한된 측정 정밀도 조건 하에서도 양자 우월성 결과가 성립하며, 고전적 오류 수정이 필요하지 않다.
• 반대 농도 성립: 주어진 결과의 출력 확률이 $ \frac{1}{2} \ell^{-n} $ 이상일 확률이 최소 1/4 이상이다. 이는 샘플링에 대해 확률가 소멸하지 않음을 보장한다.