[논문 리뷰] Quantum supremacy and random circuits

Ramis Movassagh|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 27인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 양자 회로의 출력 확률을 추정하는 것이 고전적 컴퓨터에게 #P-난이도임을 증명하며, Random Circuit Sampling (RCS)가 양자 우월성을 입증하는 가장 강력한 후보로 확립된다. 케일리 경로 보간법을 도입하고, 난수 행렬 이론과代수기하학의 발전을 활용함으로써, 저자들은 작은 교란 조건 하에서도 고전적 시뮬레이션이 여전히 지수적으로 어려움을 겪음을 보여주며, 이상적인 가정을 초월한 양자 우위에 대한 강력한 증거를 제공한다.

ABSTRACT

As Moore's law reaches its limits, quantum computers are emerging with the promise of dramatically outperforming classical computers. We have witnessed the advent of quantum processors with over $50$ quantum bits (qubits), which are expected to be beyond the reach of classical simulation. Quantum supremacy is the event at which the old Extended Church-Turing Thesis is overturned: A quantum computer performs a task that is practically impossible for any classical (super)computer. The demonstration requires both a solid theoretical guarantee and an experimental realization. The lead candidate is Random Circuit Sampling (RCS), which is the task of sampling from the output distribution of random quantum circuits. Google recently announced a $53-$qubit experimental demonstration of RCS. Soon after, classical algorithms appeared that challenge the supremacy of random circuits by estimating their outputs. How hard is it to classically simulate the output of random quantum circuits? We prove that estimating the output probabilities of random quantum circuits is formidably hard ($\#P$-Hard) for any classical computer. This makes RCS the strongest candidate for demonstrating quantum supremacy relative to all other proposals. The robustness to the estimation error that we prove may serve as a new hardness criterion for the performance of classical algorithms. To achieve this, we introduce the Cayley path interpolation between any two gates of a quantum computation and convolve recent advances in quantum complexity and information with probability and random matrices. Furthermore, we apply algebraic geometry to generalize the well-known Berlekamp-Welch algorithm that is widely used in coding theory and cryptography. Our results imply that there is an exponential hardness barrier for the classical simulation of most quantum circuits.

연구 동기 및 목표

• 고전적 시뮬레이션의 난이도를 증명함으로써 Random Circuit Sampling (RCS)를 통한 양자 우월성에 대한 엄밀한 이론적 기초를 마련하는 것.
• 비물리적인 가정에 의존한 이전 연구의 한계를 극복하기 위해, 비단위성 오라클 액세스와 같은 비물리적 조건을 피하는 것.
• 랜덤 회로에 대해 평균적인 난이도가 유지됨을 보여주어, 대부분의 경우가 고전적으로 시뮬레이션하기 어려움을 보장하는 것.
• 작은 오차에 대해서도 유효한 강건한 난이도 프레임워크를 개발하여 실용적인 양자 우위 검증을 가능하게 하는 것.
• 양자 복잡도 이론을 난수 행렬 이론과 대수기하학과 융합하여 RCS에 대한 난이도 증명을 강화하는 것.

제안 방법

• 양자 게이트 사이의 연속적 보간을 가능하게 하는 케일리 경로를 도입하여, 분석적 목적을 위해 단위행렬 회로의 부드러운 변형을 가능하게 한다.
• Paturi의 보조정리를 적용하여, 특히 테일러 급수 전개의 절단에 의해 발생하는 양자 회로 앰플리튜드의 다항식 근사 오차를 제한한다.
• 대수기하학을 활용하여 Berlekamp-Welch 알고리즘을 일반화하여, 양자 앰플리튜드 추정에서 다항식 보간에 대한 오류 수정 기법을 가능하게 한다.
• 난수 행렬 이론을 양자 회로 분석과 융합하여, 일반적인 랜덤 회로가 출력 확률 추정에서 지수적으로 어려움을 보임을 보여준다.
• #P-난이도 문제에서 랜덤 회로의 출력 앰플리튜드 추정으로의 환원을 수립하여, 표준 복잡도 가정 하에 난이도를 증명한다.
• 고전적 알고리즘이 비단위성 오라클이 아닌 단위성 오라클에 액세스할 경우에만, 덧셈 오차(예: exp(−poly(n)))에 대한 강건성이 유지됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 양자 회로의 출력 확률을 추정하는 것은 고전적 컴퓨터에게 #P-난이도인가?
• RQ2 작은 교란이나 근사 오차가 존재할 경우, Random Circuit Sampling의 난이도가 강건한가?
• RQ3 고전적 시뮬레이션에서 비단위성 근사가 사용될 경우, 양자 우월성 주장이 무효화되는가?
• RQ4 대수기하학과 난수 행렬 이론을 활용하여 양자 우월성의 복잡도론적 정당성을 강화할 수 있는가?
• RQ5 RCS의 평균 난이도가 대부분의 랜덤 회로가 고전적으로 비가역적임을 보장하는 데 충분한가?

주요 결과

• 랜덤 양자 회로의 출력 확률 추정은 #P-난이도이며, 고전적 시뮬레이션에 대한 기본적인 지수적 장벽을 확립한다.
• 추가 오차(order exp(−poly(n)))에 대한 강건성이 유지되어, 고전적 시뮬레이션 알고리즘 평가를 위한 새로운 기준을 제공한다.
• 비단위성 또는 절단된 오라클 액세스에 의존하는 고전적 알고리즘은 양자 우월성을 반박하는 데 사용될 수 없으며, 이러한 오라클은 단위행렬 회로에 대해 물리적으로 실현 불가능하기 때문이다.
• 케일리 경로 보간법은 양자 회로의 연속적이고 단위행렬 변형을 가능하게 하여, 교란 하에서의 앰플리튜드 추정 분석을 철저히 가능하게 한다.
• 일반화된 Berlekamp-Welch 알고리즘은 노이즈가 있거나 절단된 입력 조건 하에서도 고차수 다항식으로 표현된 양자 앰플리튜드를 정확히 복원할 수 있다.
• 분석 결과, 임의의 랜덤 회로를 시뮬레이션한다고 주장하는 고전적 알고리즘은 다항식 근사에서 지수적으로 큰 차수를 가져야 하며, 이는 효율성이 떨어짐을 의미한다.