[논문 리뷰] Quantum tomography using state-preparation unitaries

Joran van Apeldoorn, Arjan Cornelissen외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 18.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 상태 준비 유니타리와 그 역행렬에 대한 액세스를 가진 상태에서 양자 상태 톰그래피를 위한 효율적인 양자 알고리즘을 제시한다. 순수 상태와 혼합 상태에 대해 최적의 질의 복잡도를 달성하며, 순수 상태의 ℓ2-근사에서 d/ε의 질의로 충분하고, 질량-질량 랭크 r인 혼합 상태의 트레이스 노름 추정에선 dr/ε의 질의가 필요하다. 기존의 ε⁻² 스케일링을 요구했던 방법들에 비해 크게 향상되었다.

ABSTRACT

We describe algorithms to obtain an approximate classical description of a $d$-dimensional quantum state when given access to a unitary (and its inverse) that prepares it. For pure states we characterize the query complexity for $\ell_q$-norm error up to logarithmic factors. As a special case, we show that it takes $\widetildeΘ(d/\varepsilon)$ applications of the unitaries to obtain an $\varepsilon$-$\ell_2$-approximation of the state. For mixed states we consider a similar model, where the unitary prepares a purification of the state. In this model we give an efficient algorithm for obtaining Schatten $q$-norm estimates of a rank-$r$ mixed state, giving query upper bounds that are close to optimal. In particular, we show that a trace-norm ($q=1$) estimate can be obtained with $\widetilde{\mathcal{O}}(dr/\varepsilon)$ queries. This improves (assuming our stronger input model) the $\varepsilon$-dependence over the algorithm of Haah et al.\ (2017) that uses a joint measurement on $\widetilde{\mathcal{O}}(dr/\varepsilon^2)$ copies of the state. To our knowledge, the most sample-efficient results for pure-state tomography come from setting the rank to $1$ in generic mixed-state tomography algorithms, which can be computationally demanding. We describe sample-optimal algorithms for pure states that are easy and fast to implement. Along the way we show that an $\ell_\infty$-norm estimate of a normalized vector induces a (slightly worse) $\ell_q$-norm estimate for that vector, without losing a dimension-dependent factor in the precision. We also develop an unbiased and symmetric version of phase estimation, where the probability distribution of the estimate is centered around the true value. Finally, we give an efficient method for estimating multiple expectation values, improving over the recent result by Huggins et al.\ (2021) when the measurement operators do not fully overlap.

연구 동기 및 목표

• 상태 준비 유니타리와 그 역행렬에 액세스할 수 있을 때, 양자 상태를 재구성하기 위한 효율적인 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 기존의 복사 기반 방법에서 관찰되는 1/ε²에 의존하는 질의 복잡도를 낮추는 것.
• 더 강력한 입력 모델 하에서 순수 상태와 혼합 상태 모두에 대해 샘플 최적 알고리즘을 제공하는 것.
• 구조화된 질의 액세스를 활용해 다수의 관측량에 대한 기대값 추정을 향상시키는 것.

제안 방법

• 오차 의존도를 감소시키기 위해 앰플리튜드 추정과 새로운 대칭적이고 비편향된 위상 추정 절차를 사용하여 앰플리튜드를 추정한다.
• 맞춤형 프리앰플리피케이션을 갖춘 블록 인코딩 접근법을 활용해 다수의 기대값을 효율적으로 추정한다.
• 차원에 의존하는 정밀도 손실 없이 ℓ∞-노름 추정을 ℓq-노름 및 샤텐 q-노름 추정으로 연결하기 위해 벡터 노름 변환 보조정리를 적용한다.
• 정제화와 앰플리튜드 추정을 활용해 eO(dr/ε)의 질의로 질량-질량 랭크 r인 혼합 상태의 샤텐 1-노름(트레이스 노름)을 추정하는 방법을 개발한다.
• 다수의 정규화된 연산자 Ej에 대한 기대값을 eO(√‖∑j E²j‖ / ε)의 질의로 추정하는 기법을 도입하여, 연산자가 겹치는 경우 기존의 경계보다 더 효율적이다.
• 밀도 행렬의 원소에 비례하는 확률 분포를 사용해 프로베니우스 노름 추정을 가능하게 하며, ℓ2-근사에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태 준비 유니타리 사용 시, 1/ε²에 의존하지 않는 질의 복잡도로 양자 상태 톰그래피를 수행할 수 있는가?
• RQ2 유니타리 준비 모델 하에서 순수 상태의 ℓ2-노름 근사에 대해 최적의 질의 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 정제화와 유니타리 액세스를 사용할 때, 혼합 상태 톰그래피가 1/ε²보다 작은 질의 수로 트레이스 노름 오차를 달성할 수 있는가?
• RQ4 측정 연산자가 완전히 겹치지 않을 경우, 현재의 방법보다 다수의 기대값을 더 효율적으로 추정할 수 있는가?
• RQ5 POVM 유사 구성법을 사용해 연산자 노름에 대한 질의 복잡도 의존도를 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 순수 상태의 경우, d/ε의 질의로 상태의 ε-ℓ2-근사가 가능하며, 고전적 방법과 복사 기반 방법보다 향상되었다.
• 랭크 r인 혼합 상태의 경우, eO(dr/ε)의 질의로 트레이스 노름 추정이 가능하며, 로그 인자 외에는 추측된 최적 스케일링과 일치한다.
• 정제화를 준비하는 데 액세스할 수 있는 조건 하에서, Haah 등(2007)의 결과를 개선하여 ε-의존도를 ε⁻²에서 ε⁻¹으로 감소시켰다.
• 진짜 값 주변에 중심이 맞춰진 비편향적이고 대칭적인 위상 추정 절차를 개발하여 추정 분포의 중심이 진짜 값과 일치함을 보장했다.
• 정규화된 연산자 Ej의 다수의 기대값은 eO(√‖∑j E²j‖ / ε)의 질의로 추정할 수 있으며, 연산자가 겹칠 경우 기존 방법보다 더 효율적이다.
• 밀도 행렬의 원소에 비례하는 확률 분포를 근사함으로써 프로베니우스 노름을 추정하는 방법을 제안하였으며, 프로베니우스 노름 추정에 대해 eO(d/ε²)의 샘플을 확보하였다.