[논문 리뷰] Quantum toroidal algebras and solvable structures in gauge/string theory

Yutaka Matsuo, Satoshi Nawata외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 14.

Algebraic structures and combinatorial modelsMathematics참고 문헌 323인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 2차원 conformal 장 이론, 초대칭 게이지 이론, 그리고 초끈 이론에서의 해법 가능 구조를 통합하는 대칭적 구조로 gl1의 양자 토로이드 대수를 설정한다. 표현 이론을 통해 아핀 양얀 대수, 이중 아핀 헤이크 대수(DAHA), 그리고 W-대수를 체계적으로 연결하며, 상호연결자와 맥도널드 함수가 5차원 N=1 게이지 이론과 위상수학적 끈 이론에서 위상수학적 정점 양자역학과 qq-특성함수를 어떻게 실현하는지 보여준다.

ABSTRACT

This is a review article on the quantum toroidal algebras, focusing on their roles in various solvable structures of 2d conformal field theory, supersymmetric gauge theory, and string theory. Using $\mathcal{W}$-algebras as our starting point, we elucidate the interconnection of affine Yangians, quantum toroidal algebras, and double affine Hecke algebras. Our exploration delves into the representation theory of the quantum toroidal algebra of $\mathfrak{gl}_1$ in full detail, highlighting its connections to partitions, $\mathcal{W}$-algebras, Macdonald functions, and the notion of intertwiners. Further, we also discuss integrable models constructed on Fock spaces and associated $\mathcal{R}$-matrices, both for the affine Yangian and the quantum toroidal algebra of $\mathfrak{gl}_1$. The article then demonstrates how quantum toroidal algebras serve as a unifying algebraic framework that bridges different areas in physics. Notably, we cover topological string theory and supersymmetric gauge theories with eight supercharges, incorporating the AGT duality. Drawing upon the representation theory of the quantum toroidal algebra of $\mathfrak{gl}_1$, we provide a rather detailed review of its role in the algebraic formulations of topological vertex and $qq$-characters. Additionally, we briefly touch upon the corner vertex operator algebras and quiver quantum toroidal algebras.

연구 동기 및 목표

• 2차원 CFT, 초대칭 게이지 이론, 끈 이론에서의 해법 가능 모델을 통합하는 중심 대수적 구조로 gl1의 양자 토로이드 대수를 설정하는 것.
• 표현 이론을 통한 아핀 양얀 대수, 양자 토로이드 대수, 이중 아핀 헤이크 대수(DAHA) 간의 상호연결을 명확히 하는 것.
• gl1의 양자 토로이드 대수의 폭발 공간 표현과 상호연결자를 통해 위상수학적 정점 양자역학과 순간자 분할 함수가 어떻게 실현되는지 보여주는 것.
• 양자 토로이드 대수의 표현 이론을 사용하여 AGT dualit의 대수적 공식화와 qq-특성함수를 제공하는 것.
• 맥도널드 대칭 함수와 스크리닝 커펄런트가 W-대수에서 통합 모델과 최소 모델을 구성하는 데 어떻게 기여하는지 탐구하는 것.

제안 방법

• 양자 토로이드 대수의 gl1를 탈형 및 양자화를 통해 유도하기 위해 W1+∞-대수와 W∞[µ]-대수를 기초로 사용한다.
• 폭발 공간, 맥마혼 표현, 텐서곱을 사용하여 양자 토로이드 대수의 수직 및 수평 표현을 구성한다.
• 상호연결자를 사용하여 폭발 공간 표현 간의 사상 수립하고, Maulik-Okounkov 구성법을 통해 R-행렬을 유도한다.
• 정점 연산자 대수 기법과 토릭 칼라비-야우 기하학을 사용하여 Uq1,q2,q3(¨gl1)의 상호연결자를 통해 위상수학적 정점의 유도.
• Nekrasov 요인과 Y-함수에 대한 재귀 관계를 통해 순간자 분할 함수와 qq-특성함수를 표현한다.
• 드린펠트 전류와 상호연결자의 수축 공식을 사용하여 행렬 원소를 계산하고 대수적 항등식을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 gl1의 양자 토로이드 대수는 해법 가능 양자장 이론에서 아핀 양얀 대수, DAHA, W-대수를 어떻게 통합하는가?
• RQ2 맥도널드 대칭 함수와 상호연결자가 위상수학적 정점 양자역학을 실현하는 데 정확히 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 스크리닝 커펄런트와 표현의 분해는 어떻게 WN 최소 모델과 q-데오프리드 W-대수를 이끌어내는가?
• RQ4 gl1의 양자 토로이드 대수의 상호연결자는 어떻게 Nekrasov 분할 함수와 qq-특성함수를 재현하는가?
• RQ5 양자 토로이드 대수의 대수적 구조는 5차원 N=1 게이지 이론에서 AGT dualit의 체계적 유도에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• gl1의 양자 토로이드 대수는 공통된 표현 이론을 통해 아핀 양얀 대수, DAHA, W-대수를 통합하는 보편적인 대수적 프레임워크를 제공한다.
• gl1의 양자 토로이드 대수의 상호연결자는 폭발 공간에서의 세 점 함수로 위상수학적 정점으로 실현되며, 맥도널드 함수로 명시적으로 표현된다.
• 순수 초대칭 양민스키 이론과 선형 퀘어 게이지 이론의 Nekrasov 분할 함수는 상호연결자와 Nekrasov 요인에 대한 재귀 관계로부터 대수적으로 도출된다.
• 5차원 N=1 게이지 이론의 qq-특성함수는 결함 분할 함수와 아핀 양얀 대수로부터 구성되며, Y-함수와 스크리닝 커펄런트를 포함한 명시적 표현이 존재한다.
• WN 최소 모델은 아핀 양얀 대수의 gl1에서의 분해로 실현되며, 평면 분할과 이중 제약 분할이 스펙트럼을 코딩한다.
• 양자 토로이드 대수의 대수적 구조는 상호연결자와 폭발 공간 표현을 통해 AGT dualit의 완전한 유도를 가능하게 하며, 순간자 분할 함수와 위상수학적 정점 양자역학의 명시적 공식을 제공한다.