[논문 리뷰] Quantum total detection probability from repeated measurements II. Exploiting symmetry

Felix Thiel, Itay Mualem외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 04.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 4인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 대칭 그래프에서의 양자 제1통과 과정에서의 총 탐지 확률을 조사하며, 어둠의 상태에 의한 간섭으로 인해 대칭성으로 인해 탐지 확률이 1 미만으로 감소함을 보여준다. 탐지 상태의 안정자군을 통해 물리적으로 동일한 초기 상태를 식별함으로써, 저자들은 $P_{\text{det}}$의 상한을 $1/\nu$로 도출하며, 여기서 $\nu$는 이러한 상태의 수이며, $P_{\text{det}}$가 대칭화된 해밀토니안의 대각화를 통해 계산될 수 있음을 증명한다.

ABSTRACT

A quantum walker on a graph, prepared in the state $| ψ_{ m in} angle$, e.g. initially localized at node $r_{ m in}$, is repeatedly probed, with fixed frequency $1/τ$, to test its presence at some target node $r_{ m d}$ until the first successful detection. This is a quantum version of the first-passage problem. We investigate the total detection probability $P_{ m det}$, i.e. the probability to eventually detect the particle after an arbitrary number of detection attempts. It is demonstrated that this total detection probability is less than unity in symmetric systems, where it is possible to find initial states which are shielded from the detector by destructive interference, so-called dark states. The identification of physically equivalent initial states yields an upper bound for $P_{ m det}$ in terms of the reciprocal of the number $ν$ of physically equivalent states. The relevant subgroup of the system's symmetry operations is found to be the stabilizer of the detection state. Using this, we prove that all bright, i.e. surely detectable, states are symmetric with respect to the stabilizer. This implies that $P_{ m det}$ can be obtained from a diagonalization of the "symmetrized" Hamiltonian, instead of having to find all eigenstates of the Hamiltonian.

연구 동기 및 목표

• 파동 간섭으로 인해 대칭 양자 시스템에서 총 탐지 확률 $P_{\text{det}}$가 1 미만이 되는 이유를 이해하기 위해.
• 대칭이 탐지되지 않는 어둠의 상태를 생성하는 역할을 하는 이유를 규명하기 위해.
• 물리적으로 동일한 초기 상태의 수에 기반하여 $P_{\text{det}}$의 일반적인 상한을 유도하기 위해.
• 계산 복잡도를 줄이기 위해 $P_{\text{det}}$가 전체 스펙트럼 분해 대신 축소된 대칭화된 해밀토니안을 사용하여 계산될 수 있음을 보여주기 위해.
• 군 대칭성, degeneracy, 그리고 양자 제1통과 과정에서의 탐지 가능성 사이의 관계를 체계화하기 위해.

제안 방법

• 탐지 상태 $\ket{\psi_{\text{d}}}$의 안정자군을 식별하며, 이는 $\ket{\psi_{\text{d}}}$를 그대로 유지하는 대칭 연산의 집합으로 정의된다.
• 안정자군의 원소들에 의해 연결된 상태들을 물리적으로 동일한 초기 상태로 정의하며, 이러한 상태의 수를 $\nu$로 표기한다.
• 군 표현 이론을 사용하여 탐지 진폭의 위상 인자가 안정자군 표현의 특성에 해당함을 보여준다.
• 초기 상태의 대칭 부분공간에 투영하는 대칭 프로젝터 $\hat{P}_{\cal S}$를 구성한다.
• 탐지 확률 $P_{\text{det}}$가 초기 상태와 대칭화된 해밀토니안의 고유상태 간의 겹침으로 결정됨을 보여준다.
• 등호가 성립할 조건은 초기 상태가 대칭 부분공간에 있을 때이며, $P_{\text{det}} \leq 1/\nu$임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 대칭 그래프에서의 양자 대칭성이 총 탐지 확률을 1 미만으로 이끌는가?
• RQ2 물리적으로 동일한 초기 상태의 수인 $\nu$를 어떻게 사용하여 $P_{\text{det}}$를 상한으로 제한할 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건에서 상한 $P_{\text{det}} \leq 1/\nu$가 달성되는가?
• RQ4 탐지 상태의 안정자군이 탐지 가능한 상태의 구조를 어떻게 결정하는가?
• RQ5 전체 스펙트럼 분해를 대신하여 축소된 대칭화된 해밀토니안을 사용하여 전체 탐지 확률을 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 총 탐지 확률 $P_{\text{det}}$는 탐지 상태의 안정자군에 따라 동일한 물리적 초기 상태의 수 $\nu$에 의해 상한 $1/\nu$으로 제한된다.
• 크기가 $L$인 고리에서 운동량 고유상태 $\ket{E_k}$에서 탐지하는 경우, $k \neq 0, L/2$일 때 $P_{\text{det}} = 1/L$이며, 이는 상한 $1/\nu = 1/L$을 확인한다.
• 탐지 상태가 $\ket{E_{L/2}}$일 때는 전체 대칭군이 그 상태를 안정화하지만, 여전히 $\nu = L$이며, $P_{\text{det}} = 1/L$이 유지된다.
• 모든 초기 상태에 대해 탐지 확률은 $P_{\text{det}} = |\braket{\psi_{\text{in}}}{E_{k_{\text{d}}}}|^2$로 주어지며, 이는 탐지가 탐지 고유상태와의 겹침에만 의존함을 보여준다.
• 대칭 프로젝터 $\hat{P}_{\cal S}$는 대칭 초기 상태의 부분공간에 투영하며, $P_{\text{det}}$는 대칭화된 해밀토니안의 대각화를 통해 계산될 수 있다.
• 탐지 진폭의 위상 인자가 탐지 공간에서의 안정자군 표현의 특성과 동일함이 증명되어 군 이론과 양자 탐지 사이의 연결 고리를 형성한다.