[논문 리뷰] Quantum-tunneling transitions and exact statistical mechanics of bistable systems with parametrized Dikand\\'e-Kofan\\'e double-well potentials

F. Naha Nzoupe, Alain M. Dikandé외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 56인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 매개변수화된 Dikandé-Kofané 잠재력으로 조절 가능한 双함장 퍼텐셜을 가진 이중함장 시스템에서 양자 터널링 전이와 정확한 통계역학을 조사한다. 형태 변형 가능성 매개변수를 도입함으로써, 일阶 양자 터널링 전이가 나타나는 임계값이 존재함을 밝혀내었으며, 이는 Chudnovsky의 추측과 일치한다. 또한 전이-적분 연산자의 정확한 고유값과 고유함수를 유도하여 상관 함수 및 상관 길이와 같은 열역학적 양의 정확한 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider a one-dimensional system of interacting particles, in which particles are subjected to a bistable potential the double-well shape of which is tunable via a shape deformability parameter. Our objective is to examine the impact of shape deformability on the order of transition in quantum tunneling in the bistable system, and on the possible existence of exact solutions to the transfer-integral operator associated with the partition function of the system. The bistable potential is represented by a class composed of three families of parametrized double-well potentials, whose minima and barrier height can be tuned distinctly. It is found that the extra degree of freedom, introduced by the shape deformability parameter, favors a first-order transition in quantum tunneling, in addition to the second-order transition predicted with the $\\phi^4$ model. This first-order transition in quantum tunneling, which is consistent with Chudnovsky's conjecture of the influence of the shape of the potential barrier on the order of thermally-assisted transitions in bistable systems, is shown to occur at a critical value of the shape-deformability parameter which is the same for the three families of parametrized double-well potentials. Concerning the statistical mechanics of the system, the associate partition function is mapped onto a spectral problem by means of the transfer-integral formalism. The condition that the partition function can be exactly integrable, is determined by a criterion enabling exact eigenvalues and eigenfunctions for the transfer-integral operator. Analytical expressions of some of these exact eigenvalues and eigenfunctions are given, and the corresponding ground-state wavefunctions are used to compute the probability density which is relevant for calculations of thermodynamic quantities such as the correlation functions and the correlation lengths.

연구 동기 및 목표

• 형태 변형 가능성 매개변수의 영향을 이중함장 시스템 내 양자 터널링 전이의 차수에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 제안된 매개변수화된 이중함장 퍼텐셜에 대해 분할 함수와 관련된 전이-적분 연산자가 정확한 해를 갖는지 확인하는 것.
• 전이-적분 연산자의 정확한 고유값과 고유함수에 대한 해석적 표현을 유도하는 것.
• 열역학 계산을 위한 기저 상태 파동함수와 그 확률 밀도를 계산하는 것.
• 일阶 터널링 전이가 Chudnovsky의 장벽 형태 의존성에 대한 추측과 일치하는지 검증하는 것.

제안 방법

• 형태 변형 가능성 매개변수를 통해 최소값과 장벽 높이를 별도로 조절할 수 있는 3가지 가족의 매개변수화된 이중함장 퍼텐셜을 사용하여 시스템을 모델링한다.
• 전이-적분 체계는 분할 함수를 전이-적분 연산자를 포함하는 스펙트럼 문제로 매핑한다.
• 해석적 기법을 사용하여 전이-적분 연산자와 관련된 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해를 도출하여 고유값과 고유함수에 대한 닫힌 표현식을 얻는다.
• 기저 상태 파동함수를 추출하고 열역학 함수에 관련된 확률 밀도를 계산하는 데 사용한다.
• 임계 행동은 일阶 전이가 발생하는 형태 변형 가능성 매개변수의 임계값을 식별함으로써 분석된다.
• 전이-적분 연산자와 관련된 스펙트럼 문제의 가역성에 의해 분할 함수의 정확한 적분 가능성 기준이 설정된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중함장 퍼텐셜에 형태 변형 가능성 매개변수를 도입하면 일阶 양자 터널링 전이가 유도되는가?
• RQ2 이러한 시스템의 분할 함수에 대한 전이-적분 연산자가 정확한 해를 갖는가?
• RQ3 다양한 매개변수화된 퍼텐셜 가족 간에 일阶 터널링 전이가 발생하는 유일한 임계값인 형태 변형 가능성 매개변수의 임계값이 존재하는가?
• RQ4 전이-적분 연산자의 정확한 고유값과 고유함수는 상관 함수 및 상관 길이와 같은 열역학적 양과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 형태 변형 가능성 매개변수에 의해 제어되는 퍼텐셜 장벽의 형태가 양자 터널링 전이의 차수에 얼마나 영향을 미치는가?

주요 결과

• 형태 변형 가능성 매개변수에 의해 일阶 양자 터널링 전이가 발생하며, 이는 모든 3가지 매개변수화된 이중함장 퍼텐셜 가족에서 동일한 임계값 μ에서 발생한다.
• 형태 변형 가능성 매개변수 μ_c의 임계값은 열적으로 보조된 전이의 차수에 대한 장벽 형태의 영향에 관한 Chudnovsky의 추측과 일치한다.
• 기저 상태 파동함수와 그에 해당하는 고유값에 대한 정확한 해석적 표현이 도출되었으며, q = 1에서 q = 4까지의 경우 하이퍼볼릭 함수와 μ에 의존하는 매개변수로 명시적으로 기술된다.
• ε₀(μ), ε₁(μ), ε₂(μ)의 고유값은 다양한 q 값에 대해 명시적으로 계산되었으며, 형태 매개변수 μ와 퍼텐셜의 비조화성에 따라 의존함을 보였다.
• 기저 상태 파동함수를 사용하여 확률 밀도를 계산하였으며, 이는 시스템 내 상관 함수 및 상관 길이의 정확한 계산을 가능하게 한다.
• 전이-적분 연산자와 관련된 스펙트럼 문제의 가역성에 의해 분할 함수의 정확한 적분 가능성 기준이 수립되었다.