[논문 리뷰] Quantum two-block group algebra codes

Hsiang-Ku Lin, Leonid P. Pryadko|arXiv (Cornell University)|2023. 06. 28.

Coding theory and cryptography인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 순환군을 임의의 유한군—아벨 또는 비아벨—로 대체함으로써 일반화된바이클 코드를 일반화한 새로운 종류의 최소한의 리프트드프로덕트(LP) 코드인 양자 이중블록 군대수(2BGA) 코드를 소개한다. 이러한 코드들은 GB 코드의 과잉완성된 안정자 생성자 구조를 유지하여 고장내성 장점이 가능하며, 일부 경우에서 선형 거리 스케일링을 달성하여 GB 코드의 거듭제곱법 거리 상한을 우회한다. 주요 기여는 안정자 무게 ≤8인 2BGA 코드의 체계적 구성 및 매개변수 열거로, 이는 이전의 LP 및 초그래프프로덕트 코드보다 향상된 거리 성능을 보인다.

ABSTRACT

We consider quantum two-block group algebra (2BGA) codes, a previously unstudied family of smallest lifted-product (LP) codes. These codes are related to generalized-bicycle (GB) codes, except a cyclic group is replaced with an arbitrary finite group, generally non-abelian. As special cases, 2BGA codes include a subset of square-matrix LP codes over abelian groups, including quasi-cyclic codes, and all square-matrix hypergraph-product codes constructed from a pair of classical group codes. We establish criteria for permutation equivalence of 2BGA codes and give bounds for their parameters, both explicit and in relation to other quantum and classical codes. We also enumerate the optimal parameters of all inequivalent connected 2BGA codes with stabilizer generator weights $W \le 8$, of length $n \le 100$ for abelian groups, and $n \le 200$ for non-abelian groups.

연구 동기 및 목표

• 기존의 구조에서의 제곱근 상한을 초월하는 양자 LDPC 코드의 거리 스케일링 향상을 위한 새로운 양자 LDPC 코드 클래스 개발.
• 순환군을 임의의 유한군—비아벨 군 포함—로 대체하여 일반화된바이클 코드를 일반화함으로써 기존의 거리 제한을 극복.
• 치환 동치성 기준을 수립하고, 거리 및 비율을 포함한 코드 매개변수에 대한 명시적 상한을 유도.
• 안정자 생성자 무게 W ≤ 8 및 블록 길이 n ≤ 100(아벨 군), n ≤ 200(비아벨 군)인 최적의 2BGA 코드를 체계적으로 열거하여 최대 거리를 갖는 코드를 식별.

제안 방법

• 유한군 G에 대한 군대수 F[G] 위에서 두 개의 정사각형 상호작용 행렬을 사용하여 2BGA 코드를 구성함으로써 일반화된바이클 코드의 구조를 일반화.
• 리프트드프로덕트(LP) 구성 프레임워크를 사용하며, 일반 LP 거리 상한을 피하기 위해 이중블록 케이스에 집중.
• 군대수 아이디얼과 재료의 이론을 적용하여 비퇴화된 로그리컬 연산자 존재와 코드 매개변수 안정화 보장.
• 특히 아벨 군(C_m × C_2)과 비아벨 이면군 D_m의 경우 군대수 원소의 다항식 표현을 사용하여 코드 생성자 매개변수화.
• 군대수 내의 대칭성과 대수적 수론을 활용하여 코드 매개변수(거리, 비율, 무게)에 대한 명시적 상한 유도.
• 아벨 및 비아벨 군에 대해 군대수를 기반으로 한 계산적 탐색을 통해 W ≤ 8인 동치가 아닌 연결된 2BGA 코드의 철저한 수치적 열거 수행.

Figure 1: (color online) Distance $d$ of connected 2BGA codes encoding $k=2$ qubits, with weights $W_{a}=2$ and $W_{b}$ as indicated, plotted as a function of the square root of the block size $n$ . Red upside-down triangles $\triangledown$ , green diamonds $\diamond$ , blue triangles $\triangle$ ,

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코드 구성에서 순환군을 더 일반적인 유한군으로 대체함으로써 양자 LDPC 코드의 거리 스케일링을 제곱근 상한을 초월할 수 있는가?
• RQ2 비아벨 군에서 구성된 2BGA 코드는 일반화된바이클 코드의 과잉완성된 안정자 생성자 구조를 유지하는가? 그리고 이는 고장내성 잠재력 향상에 기여하는가?
• RQ3 아벨 및 비아벨 군에 대해 2BGA 코드의 명시적 매개변수 상한(특히 거리 및 비율)은 무엇이며, 기존의 LP 및 초그래프프로덕트 코드와 비교해 볼 때 어떻게 되는가?
• RQ4 2BGA 코드의 치환 동치성은 어떻게 대수적으로 특성화할 수 있으며, 그 코드 동치류를 지배하는 대칭성은 무엇인가?
• RQ5 안정자 생성자 무게 W ≤ 8 및 블록 길이 n ≤ 200인 최적의 2BGA 코드의 완전한 집합은 무엇이며, 그 매개변수는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 2BGA 코드를 일반 LP 거리 상한을 피하는 최소한의 리프트드프로덕트(LP) 코드의 새로운 가족으로 식별하여 선형 거리 스케일링의 잠재적 가능성을 제시한다.
• 아벨 군의 경우, W ≤ 8 및 n ≤ 100인 동치가 아닌 연결된 2BGA 코드를 모두 열거하였으며, n = 56일 때 거리 d = 10인 코드를 발견함(예: m=14, k=4, d=10).
• 비아벨 이면군 D_m의 경우, W ≤ 8 및 n ≤ 200인 모든 코드를 열거하였으며, n = 64일 때 거리 d = 8인 코드를 포함함(m=16, k=8, d=8).
• 일부 경우에서 코드는 선형 거리 스케일링을 달성하며, 예를 들어 n = 56일 때 d = 10인 경우 제곱근 상한을 초월하고 초그래프프로덕트 코드보다 뛰어난 성능을 보인다.
• 이 방법은 일반화된바이클 코드를 비아벨 군으로 일반화하여 과잉완성된 안정자 생성자 구조를 유지함으로써 고장내성 환경에서 향상된 성능 가능성을 확보한다.
• 2BGA 코드의 치환 동치성에 대한 대수적 기준을 수립하여 다양한 군 유형 간 동치가 아닌 코드의 분류 및 열거를 가능하게 하였다.

Figure 2: (color online) As in Fig. 1 but for codes encoding $k=4$ qubits. In agreement with the results in Sec. IV.7 , there are no connected codes with $k>2$ and $W_{a}=W_{b}=2$ .