[논문 리뷰] Quantum variational PDE solver with machine learning

Jaewoo Joo, H. Moon|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 변분 양자 회로를 활용하여 비선형 편미분방정식(PDE)을 해결하는 데 머신러닝을 활용하는 하이브리드 양자-고전 알고리즘인 양자 변분 PDE 솔버(QuVa)를 제안한다. PDE에 해당하는 양자 연산자의 기대값을 측정하기 위해 오직 제어 큐비트만 측정하고, 머신러닝을 통해 변분 매개변수를 최적화함으로써, 세 큐비트 양자 시스템에서 2차 PDE에 대해 고정밀도 해를 달성한다. 이는 복잡한 수학적 및 양자화학 문제 해결을 위한 상호보완적인 접근 방식을 보여준다.

ABSTRACT

To solve nonlinear partial differential equations (PDEs) is one of the most common but important tasks in not only basic sciences but also many practical industries. We here propose a quantum variational (QuVa) PDE solver with the aid of machine learning (ML) schemes to synergise two emerging technologies in mathematically hard problems. The core quantum processing in this solver is to calculate efficiently the expectation value of specially designed quantum operators. For a large quantum system, we only obtain data from measurements of few control qubits to avoid the exponential cost in the measurements of the whole quantum system and optimise a pathway to find possible solution sets of the desired PDEs using ML techniques. As an example, a few different types of the second-order DEs are examined with randomly chosen samples and a regression method is implemented to chase the best candidates of solution functions with another trial samples. We demonstrated that a three-qubit system successfully follows the pattern of analytical solutions of three different DEs with high fidelity since the variational solutions are given by a necessary condition to obtain the exact solution of the DEs. Thus, we believe that final solution candidate sets are efficiently extracted from the QuVa PDE solver with the support of ML techniques and this algorithm could be beneficial to search for the solutions of complex mathematical problems as well as to find good ansatzs for eigenstates in large quantum systems (e.g., for quantum chemistry).

연구 동기 및 목표

• 고전적 방법이 지수적 스케일링 문제를 겪는 고차원 공간에서 비선형 편미분방정식(PDE)을 해결하는 데 있어 계산적 과제를 해결하기 위해.
• 순수한 양자 처리의 한계, 즉 높은 측정 비용과 정밀한 양자 연산자 설계의 어려움을 극복하기 위해 고전적 머신러닝을 활용해 매개변수 최적화를 수행하기 위해.
• 부분 측정에서 유도된 통계적 데이터를 기반으로 변분 양자 처리와 고전적 최적화를 융합하여 복잡한 PDE의 효율적 해 탐색을 가능하게 하기 위해.
• 2차 미분방정식의 해를 고정밀도로 근사하기 위해 변분 양자 회로와 머신러닝을 융합한 방법의 타당성을 입증하기 위해.

제안 방법

• QuVa 솔버는 변분 양자 회로를 사용하여 해 함수를 양자 상태로 인코딩하고, 변분 매개변수를 앤사에 통합한다.
• 양자 처리는 전체 양자 연산자 $\hat{\cal{O}}^{\text{tot}}$ 의 기대값을 계산하며, 전체 시스템 측정 오버헤드를 피하기 위해 오직 제어 큐비트에 대한 측정만을 사용한다.
• 기계학습 기법은 양자 측정의 통계적 결과를 처리하여 변분 매개변수 $\{\bar{\lambda}\}$ 의 집합을 반복적으로 최적화한다.
• 목표 양자 상태를 준비하기 위해 제어된 유니터리 게이트와 보조 큐비트를 사용하며, 블록-SWAP 게이트를 활용해 양자 상태 간의 오버랩 허점도 계산한다.
• CNOT 게이트를 통한 인위적 디코herence와 보조 큐비트의 측정을 통해 비선형 및 퍼텐셜 항을 계산하는 데 필요한 혼합 밀도 행렬을 준비한다.
• 시험 샘플에 대한 회귀 기법을 사용하여 잔차 오차를 최소화하는 최적의 해 후보 함수를 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소규모 양자 프로세서에서 전체 시스템 상태 톰그래피 없이 부분 측정만을 사용하는 하이브리드 양자-고전 변분 접근 방식이 비선형 2차 PDE를 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 기계학습 기법이 양자 PDE 솔버에서 변분 매개변수를 얼마나 효과적으로 최적화하여 측정 비용을 줄이고 해의 정밀도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 이 변분 프레임워크를 사용할 때 세 큐비트 양자 시스템이 다양한 2차 PDE의 해석적 해를 어느 정도 정확하게 재현할 수 있는가?
• RQ4 블록-SWAP 연산을 통해 계산된 양자 상태 간의 오버랩 허점도 PDE 솔버에서 해의 품질을 평가하는 신뢰할 수 있는 지표로 기능할 수 있는가?

주요 결과

• QuVa PDE 솔버는 세 큐비트 양자 시스템을 사용하여 세 가지 다른 유형의 2차 미분방정식에 대해 고정밀도 해를 성공적으로 도출하였다.
• 변분 해는 PDE의 해석적 해와 일치하여, 이 방법이 정확한 해를 만족하는 데 필요한 조건을 충족함을 확인하였다.
• 오직 제어 큐비트만 측정하고 머신러닝을 통해 매개변수를 최적화함으로써, 전체 시스템 상태 톰그래피에 비해 양자 측정 비용을 크게 감소시켰다.
• 인위적 디코herence를 통해 비선형 및 퍼텐셜 항을 계산하기 위해 필요한 혼합 상태를 준비할 수 있었다.
• 시험 샘플에 대한 회귀 기반 최적화가 효과적으로 최상의 후보 해 함수를 식별하여, 머신러닝이 PDE 해 탐색을 이끄는 데의 실현 가능성을 입증하였다.
• 블록-SWAP 게이트 연산을 통해 오버랩 허점도 정확하게 계산되었으며, 이는 해 후보 검증의 핵심 지표로 기능하였다.