[논문 리뷰] Quantum vs. Classical Read-once Branching Programs

Martin Sauerhoff|ArXiv.org|2005. 04. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비잔영 양자 독독 분기 프로그램에 대해 처음으로 비트리ivial 상한과 하한을 확립하며, 양자 모델과 고전적 모델 간의 계산 능력이 상호 보완적이지 않음을 보여준다: 특정 총함수에 대해 양자 프로그램은 고전적 랜덤화된 프로그램보다 지수적으로 빠르게 해결할 수 있지만, 집합의 상호배타성 함수에 대해서는 지수적 크기의 필요성을 보이며, 이는 고전적 결정론적 OBDD가 선형 크기로 해결할 수 있음에도 불구하고 그렇다.

ABSTRACT

The paper presents the first nontrivial upper and lower bounds for (non-oblivious) quantum read-once branching programs. It is shown that the computational power of quantum and classical read-once branching programs is incomparable in the following sense: (i) A simple, explicit boolean function on 2n input bits is presented that is computable by error-free quantum read-once branching programs of size O(n^3), while each classical randomized read-once branching program and each quantum OBDD for this function with bounded two-sided error requires size 2^{Ω(n)}. (ii) Quantum branching programs reading each input variable exactly once are shown to require size 2^{Ω(n)} for computing the set-disjointness function DISJ_n from communication complexity theory with two-sided error bounded by a constant smaller than 1/2-2\sqrt{3}/7. This function is trivially computable even by deterministic OBDDs of linear size. The technically most involved part is the proof of the lower bound in (ii). For this, a new model of quantum multi-partition communication protocols is introduced and a suitable extension of the information cost technique of Jain, Radhakrishnan, and Sen (2003) to this model is presented.

연구 동기 및 목표

• 비잔영 양자 독독 분기 프로그램에 대해 처음으로 비트리ivial 상한과 하한을 확립하기.
• 각 모델이 다른 모델을 능가하는 명시적 함수를 구성함으로써, 양자와 고전적 독독 분기 프로그램 간의 상호 보완적이지 않은 계산 능력을 입증하기.
• 정보비용 기법을 새로운 양자 다분할 통신 프로토콜 모델으로 확장하여 집합의 상호배타성 함수에 대한 하한을 증명하기.
• 총함수에 대해 양자 독독 분기 프로그램이 고전적 랜덤화된 대안보다 지수적으로 크기 우위를 점할 수 있음을 보여주기.
• 집합의 상호배타성 함수를 계산하기 위해 양자 독독 분기 프로그램이 지수적 크기를 필요로 함을 증명하기는 하지만, 이는 고전적 결정론적 OBDD가 선형 크기로 해결할 수 있음에도 불구하고 그러하다.

제안 방법

• 양자 독독 분기 프로그램 분석을 위해 새로운 양자 다분할 통신 프로토콜 모델을 도입하기.
• Jain-Radhakrishnan-Sen 정보비용 기법의 확장을 새로운 양자 다분할 모델에 적용하기.
• 가중합 함수와 그 확장인 혼합 가중합 함수(MWSₙ)를 사용하여 지수적 양자 우위를 구축하기 위한 기초로 활용하기.
• 상호정보량과 조건부 엔트로피 기법을 사용하여 양자 분기 프로그램 내의 정보 흐름을 제한하기.
• 입력 조건화와 평균화 추론을 통한 감소를 통해 분기 프로그램 크기 분석을 양자 통신 프로토콜의 정보비용으로 환원하기.
• 조건부 분포 하에서 입력 비트의 독립성을 활용하여 분기 프로그램 행동으로부터 양자 2분할 프로토콜을 시뮬레이션하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 독독 분기 프로그램은 총함수에 대해 고전적 랜덤화 독독 분기 프로그램보다 지수적으로 크기 우위를 점할 수 있는가?
• RQ2 양자 독독 분기 프로그램이 고전적 랜덤화 모델보다 지수적으로 작은 크기로 해결할 수 있는 총함수가 존재하는가?
• RQ3 집합의 상호배타성 함수에 대해 양자 독독 분기 프로그램의 공간 복잡도는 얼마이며, 고전적 모델과 비교해 보면 어떠한가?
• RQ4 통신 복잡도에서의 정보비용 기법을 양자 다분할 프로토콜로 확장하여 하한을 증명할 수 있는가?
• RQ5 양자 독독 분기 프로그램의 비잔영성은 의존 모델 대비 계산 능력에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 오차가 없는 양자 독독 분기 프로그램이 크기 $O(n^3)$로 혼합 가중합 함수 MWSₙ을 계산할 수 있으며, 이는 $2n$개의 입력 비트에 대한 총함수이다.
• 모든 고전적 랜덤화 독독 분기 프로그램 또는 양자 OBDD는 두측 오차가 $1/2$ 미만일 경우 MWSₙ을 계산하기 위해 크기 $2^{ ilde{ ext{O}}(n)}$ 가 필요하다.
• 양자 독독 분기 프로그램은 두측 오차가 $1/2 - 2 ilde{3}/7$ 보다 작은 상수 이하일 경우 집합의 상호배타성 함수 DISJₙ을 계산하기 위해 크기 $2^{ ilde{ ext{O}}(n)}$ 가 필요하다.
• DISJₙ에 대한 하한은 새로운 양자 다분할 통신 프로토콜 모델과 이 모델에 대한 정보비용 기법의 확장을 통해 증명된다.
• AND 함수에 대한 $ ilde{ ext{O}}$-오차 양자 2분할 프로토콜의 정보비용은 양의 상한으로 제한되어 있어 크기 하한을 도출할 수 있다.
• 결과적으로, 양자와 고전적 독독 분기 프로그램은 상호 보완적이지 않은 계산 능력을 지닌다: 각각은 다른 모델이 효율적으로 해결할 수 없는 문제를 해결할 수 있다.