[논문 리뷰] Quantum walk speedup of backtracking algorithms

Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 08.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 44인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 제약 만족 문제(CSPs)를 해결하는 데 사용되는 고전적 백트래킹 알고리즘에 대해 거의 제곱근 수준의 가속을 달성하는 양자 알고리즘을 제시한다. 백트래킹 트리 위에서 수행하는 양자 워크를 활용하여, 고전적 경우의 $O(T)$에서부터 $O(\sqrt{T}n^{3/2}\log n)$로 예측 및 히وري스틱 평가 횟수를 감소시키며, $T$가 클 경우 SAT와 같은 문제에서 상당한 가속 효과를 제공한다.

ABSTRACT

We describe a general method to obtain quantum speedups of classical algorithms which are based on the technique of backtracking, a standard approach for solving constraint satisfaction problems (CSPs). Backtracking algorithms explore a tree whose vertices are partial solutions to a CSP in an attempt to find a complete solution. Assume there is a classical backtracking algorithm which finds a solution to a CSP on n variables, or outputs that none exists, and whose corresponding tree contains T vertices, each vertex corresponding to a test of a partial solution. Then we show that there is a bounded-error quantum algorithm which completes the same task using O(sqrt(T) n^(3/2) log n) tests. In particular, this quantum algorithm can be used to speed up the DPLL algorithm, which is the basis of many of the most efficient SAT solvers used in practice. The quantum algorithm is based on the use of a quantum walk algorithm of Belovs to search in the backtracking tree. We also discuss how, for certain distributions on the inputs, the algorithm can lead to an exponential reduction in expected runtime.

연구 동기 및 목표

• 제약 만족 문제(CSPs)를 해결하는 데 사용되는 고전적 백트래킹 알고리즘에 일반적인 양자 가속을 개발하는 것.
• 백트래킹 트리의 크기가 $T$일 때, 고전적 $O(T)$에서 양자적 $O(\sqrt{T}n^{3/2}\log n)$로 예측 및 히وري스틱 평가 횟수를 감소시키는 것.
• 이 양자 가속이 DPLL 알고리즘과 같은 실용적 SAT 솔버의 핵심 방법에 적용될 수 있음을 보여주는 것.
• 특정 입력 분포 하에서 양자 알고리즘이 기대 실행 시간을 지수적으로 감소시킬 수 있는 조건을 분석하는 것.

제안 방법

• 각 정점이 CSP에 대한 부분 할당을 나타내는 백트래킹 트리 위에서 양자 워크를 수행하는 알고리즘.
• Belovs의 양자 워크 알고리즘을 적용하여 트리 내에서 해를 탐색하고, 양자 진폭 강화를 활용해 가속을 달성한다.
• 부분 할당을 참, 거짓 또는 미정으로 평가하는 예측 $P$와 다음 할당할 변수를 선택하는 히وري스틱 $h$에 대한 액세스를 가정한다.
• 알고리즘은 트리의 구조에 기반한 선형 방정식 시스템을 풀어 얻은 진폭을 가진, 표시되지 않은 정점들에 대한 중첩 상태 $|\xi\rangle$를 구성한다.
• 효율적 스펙트럼 갭 보조정을 사용하여 런타임 한계를 유도하며, 이는 목표 공간의 수직 보조공간에 대한 상태의 노름과 트리 정점 수 $T$ 사이의 관계를 설명한다.
• 알고리즘은 $P$와 $h$를 $O(\sqrt{T}n^{3/2}\log n)$번 평가하며, 실패 확률은 $\delta$이며, $\operatorname{poly}(n)$의 공간에서 작동한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 백트래킹 알고리즘에 대해 양자 워크를 사용하여 일반적인 양자 가속을 달성할 수 있는가?
• RQ2 고전 알고리즘이 크기가 $T$인 트리를 탐색하는 경우, 백트래킹을 통한 CSP 해결에 대한 양자 질의 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 백트래킹 트리가 작거나 구조화되어 있을 경우에도 양자 가속이 유지되는가? 어떤 입력 분포에서 지수적 가속이 발생할 수 있는가?
• RQ4 실제 CSP 인스턴스, 예를 들어 $k$-SAT에서, 고전적 백트래킹 알고리즘과 그로버 알고리즘에 비해 양자 알고리즘의 성능은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 양자 알고리즘은 거의 제곱근 수준의 가속을 달성하여, 예측 및 히وري스틱 평가 횟수를 고전적 경우의 $O(T)$에서 $O(\sqrt{T}n^{3/2}\log n)$로 감소시킨다.
• 일반적인 $k$-SAT 인스턴스에서 $k=O(1)$일 경우, 백트래킹 트리의 기대 정점 수는 $O(n2^{Cn})$이며, 여기서 $C = \left(\frac{2^{k}\ln 2}{\alpha k}\right)^{1/(k-1)}\left(1 - \frac{1}{k}\right)$이고, 양자 알고리즘은 $\sqrt{T}$ 비례하는 가속을 제공한다.
• $k=3$일 경우, 기대 정점 수는 $\Omega(2^{C'n})$이며, 여기서 $C' \geq 0.906/\sqrt{\alpha} - 0.142/\alpha^2$이므로, 특정 매개변수 영역에서는 양자 알고리즘이 지수적 가속을 달성할 수 있음을 나타낸다.
• 이 알고리즘은 DPLL 알고리즘에 적용 가능하며, 이는 현대 SAT 솔버의 기초를 이루므로 실용적 관련성이 있다.
• 양자 워크 접근법은 최대 $\delta$의 실패 확률로 유한 오차 성능을 보장하며, 오라클 호출당 $O(1)$의 보조 연산만을 사용한다.
• 분석 결과, $T$가 클 경우에 양자 가속이 가장 효과적이며, 특정 입력 분포에서는 기대 실행 시간을 지수적으로 감소시킬 수 있다.