[논문 리뷰] Quartet fixed point for nonlinear contraction

Erdal Karapınar|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 27.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 8인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 부분적으로 순서가 붙은 거리 공간에서 비선형 수축에 대해 혼합 g-모노톤 매핑을 사용하여 4중 고정점의 개념을 도입한다. 일반화된 수축 조건 하에서 4중 일치 고정점의 존재성과 유일성을 확립하며, 이는 이전의 쌍체 및 삼중 고정점에 대한 연구를 반복 수열과 매핑 및 관련 함수 g에 대한 연속성 가정을 통해 확장한다.

ABSTRACT

The notion of coupled fixed point is introduced in by Bhaskar and Lakshmikantham in [2]. Very recently, the concept of tripled fixed point is introduced by Berinde and Borcut [1]. In this manuscript, by using the mixed g monotone mapping, some new quartet fixed point theorems are obtained. We also give some examples to support our results.

연구 동기 및 목표

• 부분적으로 순서가 붙은 거리 공간에서 쌍체 및 삼중 고정점 이론을 초월하여 4중 고정점으로의 고정점 이론을 확장하기 위해.
• 일반화된 수축 조건 하에서 매핑 F와 함수 g에 대해 4중 일치 고정점의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• 혼합 g-모노톤성과 함께 네 개의 변수를 포함하는 고정점 구조를 도입함으로써 이전의 쌍체 및 삼중 고정점 결과를 일반화하기 위해.
• 수렴을 보장하기 위한 연속성, 가환성 및 순서 호환성과 같은 충분한 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• 네 개의 변수 매핑 F: X⁴ → X에 대해 혼합 g-모노톤 성질을 정의한다. 여기서 F는 g에 의해 유도된 순서에 대해 첫 번째 및 세 번째 변수에서는 비감소하고 두 번째 및 네 번째 변수에서는 비증가한다.
• 함수 φ를 포함하는 수축 조건을 도입한다. d(F(x,y,z,w), F(u,v,s,t)) ≤ φ(1/4 [d(g(x),g(u)) + d(g(y),g(v)) + d(g(z),g(s)) + d(g(w),g(t))])이며, t > 0 이면 φ(t) < t 이다.
• g(xₙ₊₁) = F(xₙ, yₙ, zₙ, wₙ) 등과 같이 반복 수열 (xₙ), (yₙ), (zₙ), (wₙ)을 구성하고, 완비 거리 공간 X에서 {g(xₙ)}, {g(yₙ)}, {g(zₙ)}, {g(wₙ)}가 코시 수열임을 증명한다.
• g의 연속성과 F와 g의 가환성을 이용하여 이 수열들의 극한이 4중 일치 고정점 방정식을 만족함을 보인다: F(x,y,z,w) = g(x), F(y,z,w,x) = g(y), F(z,w,x,y) = g(z), F(w,x,y,z) = g(w).
• 모순에 의한 수렴을 증명한다. 거리 수열의 극한이 0이 되지 않는다고 가정하면, 수축 조건과 모순이 발생한다.
• 두 가지 다른 가정을 적용한다: (a) F와 g의 연속성, (b) 극한이 반복 수열과 순서 호환됨. 이를 통해 고정점 조건이 성립함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 네 개의 변수 매핑 F가 부분적으로 순서가 붙은 거리 공간에서 4중 일치 고정점을 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 혼합 g-모노톤성의 개념은 쌍체 및 삼중 고정점에서 4중 고정점으로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 반복 수열이 유일한 4중 고정점으로 수렴하도록 보장하는 수축 조건은 무엇인가?
• RQ4 F와 g의 연속성 및 가환성은 4중 일치 고정점의 존재성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 F가 연속적이지 않을 경우 극한 수열의 순서 호환성이 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• {g(xₙ)}, {g(yₙ)}, {g(zₙ)}, {g(wₙ)} 수열들이 완비 거리 공간 X에서 극한 x, y, z, w로 수렴한다.
• 연속성과 가환성 가정 하에서 극한은 다음 4중 일치 고정점 방정식을 만족한다: F(x,y,z,w) = g(x), F(y,z,w,x) = g(y), F(z,w,x,y) = g(z), F(w,x,y,z) = g(w).
• F가 연속적이지만 순서 호환성 조건이 성립할 경우, 동일한 4중 일치 고정점은 수축 조건을 이용한 극한 추론을 통해 달성된다.
• 수축 조건 d(F(x,y,z,w), F(u,v,s,t)) ≤ φ(1/4 [d(g(x),g(u)) + d(g(y),g(v)) + d(g(z),g(s)) + d(g(w),g(t))])이며, φ(t) < t 이면 수렴이 보장된다.
• 반복 수열 간의 거리가 0으로 수렴하지 않는다고 가정하면, 수축 조건과 모순이 발생하므로 수열이 코시임을 증명할 수 있다.
• 엄격한 수축 조건과 함수 φ의 성질에 의해 4중 일치 고정점의 유일성이 유추된다.