[논문 리뷰] Quasi-adiabatic Continuation for Disordered Systems: Applications to Correlations, Lieb-Schultz-Mattis, and Hall Conductance

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 28.

Physics of Superconductivity and Magnetism참고 문헌 15인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 불순물이 있는 양자 다체계에 대해 국소화된 저에너지 진동자에 기반한 이동성 갭 정의를 제안하며, 이는 이전에 스펙트럼 갭에 의존하던 준정적 연속 기법을 국소화된 저에너지 진동자가 존재하는 시스템으로 확장할 수 있도록 한다. 최적화된 필터 함수를 사용하여 지수적 감쇠보다 더 느린 감쇠(하나의 지수 함수보다 느린 감쇠)를 갖는다. 저자들은 지수적 상관관계 감쇠, 일반화된 고차원 Lieb-Schultz-Mattis 정리, 그리고 밀도 상태에 대한 약한 가정 하에 홀 전도도 양자화를 증명하며, 오차 한계는 이전의 지수 감쇠가 아닌 하위지수 감쇠를 보인다.

ABSTRACT

We present a possible definition of a mobility gap for a many-body quantum system, in analogy to definitions of dynamical localization for single particle systems. Using this definition, we construct "corrected" quasi-adiabatic continuation operators. Under an appropriate definition of a unique ground state, we show how to introduce virtual fluxes. Armed with these results, we can directly carry over previous results in the case of a spectral gap. We present a proof of decay of correlation functions and we present a proof of Hall conductance quantization under very mild density-of-states assumptions defined later. We also generalize these definitions to the case of a "bulk mobility gap", in the case of a system with boundaries, and present a proof of Hall conductance quantization on an annulus under appropriate assumptions. Further, we present a new "optimized" quasi-adiabatic continuation operator which simplifies previous estimates and tightens bounds in certain cases. This is presented in an appendix which can be read independently of the rest of the paper as it also improves estimates in the case of systems with a spectral gap. This filter function used decays in time at least as fast as ${\cal O}(\exp(-t^α))$ for all $α<1$, a class of decay called subexponential (a tighter description of what is possible is below). Using this function it is possible to tighten recent estimates of the Hall conductance quantization for gapped systems\cite{hall} to a decay which is subexponential in system size.

연구 동기 및 목표

• 불순물이 있는 다체 양자 시스템에 대해 국소화된 저에너지 진동자를 고려한 스펙트럼 갭 개념의 일반화로서 이동성 갭을 정의하는 것.
• 이동성 갭 조건 하에서 국소성을 유지하면서 정상적 진동을 근사하는 수정된 준정적 연속 연산자를 구성하는 것.
• 이전의 결과들—예를 들어 상관관계 감쇠, Lieb-Schultz-Mattis 정리, 홀 전도도 양자화—를 스펙트럼 갭 조건을 초월하여 이동성 갭을 가진 시스템으로 확장하는 것.
• 이동성 갭 하에서 기존 증명의 오차 한계를 강화하기 위해 개선된 감쇠 성질을 가진 최적화된 준정적 연속 연산자를 도입하는 것.
• 경계가 존재하고 전체적으로 이동성 갭이 존재하는 시스템으로 프레임워크를 일반화하여, 예를 들어 고리 모양과 같은 위상적으로 비자명한 기하구조에서 홀 전도도 양자화를 증명하는 것.

제안 방법

• 단일 입자 시스템에서의 역동적 국소화와 유사하게, 저에너지 진동자의 천천간 전파에 기반한 이동성 갭 정의를 제안한다.
• 이동성 갭 영역에서 국소성을 유지하면서 정상적 진동을 근사하는 수정된 준정적 연속 연산자를 구성한다.
• 특히 $ \mathcal{O}(\exp(-t^{\alpha})) $ 형태로 감쇠하는 새로운 필터 함수를 도입하며, 이는 모든 $ \alpha < 1 $ 에 대해 성립한다.
• 신규 필터 함수를 사용하여 Lieb-Robinson 경계를 적용하여, 정상적 진동 과정 중 연산자의 확산을 통제한다.
• 가상의 플럭스 삽입과 기저 상태의 유일성 가정을 사용하여 플럭스 반응에 대한 경계를 유도하며, 갭이 있는 시스템의 결과를 일반화한다.
• 밀도 상태에 대한 최소한의 가정 하에, 상관관계 감쇠, 홀 전도도 양자화, 일반화된 Lieb-Schultz-Mattis 정리의 증명에 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불순물이 있는 다체 양자 시스템에 대해, 국소화된 저에너지 진동자를 고려할 때 스펙트럼 갭 개념을 일반화할 수 있는 이동성 갭을 정의할 수 있는가?
• RQ2 이동성 갭이 존재하는 시스템에서, 국소성을 유지하면서 정상적 진동을 근사하는 데 적합한 준정적 연속 연산자를 어떻게 조정할 수 있는가?
• RQ3 상관관계 감쇠, 홀 전도도 양자화, Lieb-Schultz-Mattis 정리 등의 결과들이 스펙트럼 갭이 없는 불순물이 있는 시스템으로 얼마나 넓게 확장될 수 있는가?
• RQ4 하위지수 감쇠 성질을 가진 새로운 필터 함수를 사용하여, 기존 증명(예: 홀 전도도 양자화에 대한 증명)의 오차 한계를 어떻게 강화할 수 있는가?
• RQ5 특히 위상적으로 비자명한 기하구조에서, 경계가 존재하고 전체적으로 이동성 갭이 존재하는 시스템으로 프레임워크를 어떻게 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 불순물이 있는 시스템에 대해 일반화된 고차원 Lieb-Schultz-Mattis 정리를 증명하며, 갭이 초다항적으로 작아지거나 플럭스 삽입 기대값이 특정한 방식으로 제약을 받는다는 것을 보여준다.
• 기저 상태가 유일하다는 가정 하에, 이동성 갭이 존재하는 불순물 시스템에서 상관관계 함수의 지수적 감쇠를 증명한다.
• 홀 전도도는 오차가 감쇠 클래스 $ g $ 의 함수로 유계이지만, 오차가 이전의 지수 감쇠가 아닌 하위지수 감쇠를 보이며 정수로 양자화됨을 보여준다.
• 모든 $ \alpha < 1 $ 에 대해 $ \mathcal{O}(\exp(-t^{\alpha})) $ 형태로 감쇠하는 필터 함수를 기반으로 한 최적화된 준정적 연속 연산자는 오차 추정을 단순화하고 기존 증명의 경계를 강화한다.
• 경계가 존재하는 시스템으로 프레임워크를 일반화하여, 전체 이동성 갭이 존재하는 조건 하에 고리 모양 기하구조에서 홀 전도도 양자화를 증명할 수 있다.
• 홀 전도도 양자화의 오차가 이전의 거듭제곱 지수 경계를 초월하여 하위지수 감쇠를 보임을 입증한다.