[논문 리뷰] Quasi-continuous random variables and processes under the G-expectation framework

Mingshang Hu, Falei Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 13.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 PDE 기법과 Krylov의 추정치를 활용하여 $G$-기대 프레임워크 하에서 $G$-적분 가능 과정의 특성과 연속성에 가까운 특성을 갖는 확률과정의 클래스를 규명한다. $G$-Itô 과정이 다항식 성장 조건을 만족하는 Borel 측정 가능 함수에 의해 구동될 경우, 이 과정이 연속성에 가까운 성질을 갖는다는 것을 증명하며, 수렴 정리의 적용과 $G$-확률적 분석의 발전을 가능하게 한다. 특히 비마르코프성 SDE 및 비립시츠 조건 하에서의 후행 방정식에 대한 분석이 가능해진다.

ABSTRACT

In this paper, we first use PDE techniques and probabilistic methods to identify a kind of quasi-continuous random variables. Then we give a characterization of the $G$-integrable processes and get a kind of quasi-continuous processes by Krylov's estimates. This result is useful for the development of $G$-stochastic analysis theory. Moreover, it also provides a tool for the study of the non-Markovian Itô processes.

연구 동기 및 목표

• 측정법의 대표 집합 $\mathcal{P}$ 내에서 상호 독립적인 측도가 존재하는 $G$-기대 프레임워크에서 연속성에 가까운 성질을 확인하는 데서 발생하는 도전 과제를 해결하기 위해.
• 이전 결과를 일반화하여 $G$-적분 가능 과정의 공간 $M_G^p(0,T)$를 특성화하기 위해.
• $G$-Itô 과정에 대한 약한 지배 수렴 정리 수립을 통해 비립시츠 조건 하에서의 SDE 및 후행 방정식 분석을 가능하게 하기 위해.
• $G$-SDE에서의 적합 제어의 근사화 및 마르코프 성질 증명을 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• PDE 기법과 확률적 제어 방법을 활용하여 $G$-Itô 과정과 관련된 극점 집합을 규명함으로써, 불규칙한 Borel 측정 가능 함수의 연속성에 가까운 성질을 확보한다.
• Krylov의 추정치를 적용하여 $M_G^1(0,T)$ 내에서 연속성에 가까운 점진적 가측 과정의 클래스를 구성한다.
• $G$-기대 설정 하에서 연속성에 가까운 과정에 대한 단조 수렴 정리를 수립한다.
• 코로나리 4.13을 활용하여 $G$-기대를 함수의 $L^p$-노름을 통해 유계화함으로써, $L^p$-적분 가능성과 $G$-적분 가능성 간의 연결 고리를 형성한다.
• $L^p$-공간에서의 지배 수렴 정리를 적용하여 근사 수열의 $G$-기대 수렴을 증명한다.
• 다항식 성장 조건을 만족하는 Borel 측정 가능 함수에 거의 어디에서나 수렴하는 컴팩트 지지 집합을 갖는 연속 함수의 근사 수열을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $G$-Itô 과정이 다항식 성장 조건을 만족하는 Borel 측정 가능 함수에 의해 구동될 경우, $G$-기대 프레임워크 하에서 연속성에 가까운 성질을 갖는다고 보일 수 있는가?
• RQ2 구동 함수가 오직 측정 가능할 경우, $G$-Itô 과정 수열이 $G$-기대에서 수렴하기 위한 조건는 무엇인가?
• RQ3 Krylov의 추정치는 $G$-기대 설정 하에서 연속성에 가까운 과정을 생성하기 위해 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 $G$-Itô 과정에 대해 약한 지배 수렴 정리를 수립할 수 있는가? 이를 통해 비립시츠 계수를 갖는 SDE 및 BSDE를 다룰 수 있는가?
• RQ5 극점 집합은 $G$-확률과정의 연속성에 가까운 성질을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $p \geq n+1$ 이면, $\psi \in L^p([0,T] \times \mathbb{R}^n)$ 이면, 과정 $(\psi(t,X_t))_{t \leq T}$ 는 $M_G^1(0,T)$ 에 속하며, $\psi$ 의 각 표현에 대해 거의 어디에서나 등식이 성립한다.
• $p \geq n$ 이면, $\varphi \in L^p(\mathbb{R}^n)$ 이면, 과정 $(\varphi(X_t))_{t \leq T}$ 는 $M_G^1(0,T)$ 에 속하며, $\varphi$ 의 각 표현에 대해 거의 어디에서나 등식이 성립한다.
• $\varphi^k \to \varphi$ a.e. 이고 $|\varphi^k| \leq \bar{C}(1+|x|^l)$ 이면, $\mathbb{\hat{E}}[\int_0^T |\varphi^k(X_t) - \varphi(X_t)|^p dt] \to 0$ 이다. $k \to \infty$ 일 때, 이는 약한 지배 수렴 정리를 증명한다.
• 모든 Borel 측정 가능 함수 $\varphi$ 가 다항식 성장 조건을 만족하면, $(\varphi(X_t))_{t \leq T} \in M_G^2(0,T)$ 이며, 이는 과정이 $G$-적분 가능하다는 것을 보장하고 연속 함수에 의한 근사를 가능하게 한다.
• Krylov의 추정치로부터 유도된 수렴 속도는 비마르코프성 이토 과정의 표본 경로 성질, 예를 들어 미분 가능성과 최대값 분석을 가능하게 한다.
• 이 결과들은 $G$-SDE의 마르코프 성질을 증명하고, $G$-확률적 제어 문제에서의 근사화를 위한 핵심 도구를 제공한다.