[논문 리뷰] Quasi-Controllability and Estimates of Amplitudes of Transient Regimes in Discrete Systems

Victor Kozyakin, Н. В. Кузнецов외 1명|ArXiv.org|2009. 09. 24.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 새로운 개념인 준가역성( quasi-controllability)을 사용하여 이산 제어 시스템에서 일시적 진폭의 상한을 추정하는 새로운 프레임워크를 제안한다. 준가역성 측도를 정의함으로써, 안정적이고 준가역성인 시스템에 대해 단위 구에서 시작하는 모든 상태 궤적은 이 측도의 역수로 유계임을 증명하며, 이는 오버슈트에 대한 구성적 사전 추정 상한을 제공한다. 이 방법은 소규모 매개변수 변동에 대해 안정성과 불안정성의 강건성을 보장한다.

ABSTRACT

Families of regimes for discrete control systems are studied possessing a special quasi-controllability property that is similar to the Kalman controllability property. A new approach is proposed to estimate the amplitudes of transient regimes in quasi-controllable systems. Its essence is in obtaining of constructive a priori bounds for degree of overshooting in terms of the quasi-controllability measure. The results are applicable for analysis of transients, classical absolute stability problem and, especially, for stability problem for desynchronized systems.

연구 동기 및 목표

• 이등분된 제어 시스템에서 가역성이 열악하거나 비동기화되는 경우 발생하는 비유계 일시적 진폭 문제를 다루기 위해.
• 일시적 영역 동안 상태 궤적의 최대 진폭을 추정하기 위한 구성적 사전 방법을 개발하기 위해.
• 준가역성 정도와 안정 시스템에서 오버슈트의 상한 사이의 관계를 설정하기 위해.
• 소규모 매개변수 변동에 대해 이산 시스템의 안정성 및 불안정성 성질이 강건하게 유지되는지 확인하기 위해.
• 절대 안정성과 비동기 시스템에 적용 가능한, 큰 일시적 피크를 피할 수 있는 능력을 정량화하는 계산 가능한 측도를 제공하기 위해.

제안 방법

• 준가역성의 개념을 도입: ℝ^N의 영이 아닌 진부분공간이 가족에 속한 모든 행렬에 대해 불변이면, 그 가족은 준가역성이라고 한다.
• 준가역성 측도 χ(𝒜)를 정의하며, 이는 σ_{N-1}(𝒜)의 최소값의 역수로, 준가역성 정도를 정량화한다.
• 행렬 곱의 가족 𝒜_k(x)와 그 볼록 hull을 사용하여 이산 시스템의 도달 가능성과 궤적 상한을 분석한다.
• σ_{N-1}(𝒜) 측도를 사용하여 상태 벡터의 노름에 대한 상한을 유도하며, 특히 스위칭 동역학을 갖는 시스템에 적용한다.
• 리아푸노프 유형 안정성 분석과 행렬 노름 추정을 활용하여, 시스템이 안정적이고 준가역성일 경우 모든 n에 대해 ‖x(n)‖ ≤ 1/χ(𝒜)임을 증명한다.
• 준가역성 측도의 연속성과 행렬 가족의 수렴성을 통해 불안정성의 강건성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가역성이 열악한 이산 시스템에 대해, 일시적 영역의 진폭에 대한 구성적 사전 상한을 도출할 수 있는가?
• RQ2 상태 궤적의 최대 오버슈트는 시스템의 준가역성 정도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 이산 시스템의 안정성 또는 불안정성이 매개변수의 소규모 변동에 대해 강건한가?
• RQ4 제안된 측도는 비동기화 또는 이종 시스템에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 시스템이 고도의 점근적 안정성 설계를 위해 설계된 경우에도 오버슈트가 유계로 유지되기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 안정적이고 준가역성인 이산 시스템에 대해, 단위 구에서 시작하는 모든 상태 궤적은 준가역성 측도의 역수로 균일하게 유계이다: ‖x(n)‖ ≤ 1/χ(𝒜).
• 준가역성 측도 χ(𝒜)는 계산 가능하며, 전체 가역성이 필요 없이도 일시적 오버슈트에 대한 직접적이고 구성적인 상한을 제공한다.
• 시스템이 준가역성이라면, 소규모 매개변수 변동에 대해 안정성이 강건함이 증명되었으며, 이는 정리 8에 의해 보여진다.
• 측도 χ(𝒜)는 행렬 가족에 대해 연속적이므로, 시스템 매개변수의 소규모 변화가 오버슈트 상한에 소규모 변화를 유도함을 보장한다.
• 비동기 시스템에서는, 만약 시스템이 리아푸노프 절대 안정성이고 행렬 A가 기약가능하며 1이 고유값이 아니면, χ(𝒜) ≤ (αβ^{N−1})^{−1}이 성립하여 안정성 기반 상한을 제공한다.
• 준가역성 가정 없이선, 행렬 가족의 수렴성은 안정성 또는 유계 오버슈트를 보장하지 못하며, 이는 반례(예제 4 및 5)로 보여진다.