[논문 리뷰] Quasi-Coxeter categories and quantum groups

Andrea Appel, Valerio Toledano-Laredo|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 31.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 브레인 군과 아르틴의 브레인 군의 작용이 객체의 텐서 거듭제곱에 대해 유사하고 상호작용하는 텐서 범주로서 브레이들드 코크세터 범주를 도입한다. 양자 웨일 군 연산자와 양자 카크무디 대수 U_h(g)의 리 하위대수의 보편 R행렬이 적응 가능한 범주 O 모듈에 브레이들드 코크세터 구조를 제공하며, 이는 2-카테고리적 양자화를 통해 범주 O 표현으로 전이된다. 이는 양자 웨일 군 연산자의 단일화 기술을 보다 일반화한 것이다.

ABSTRACT

We define the notion of braided Coxeter category, which is informally a tensor category carrying compatible, commuting actions of a generalised braid group B_W and Artin's braid groups B_n on the tensor powers of its objects. The data which defines the action of B_W bears a formal similarity to the associativity constraints in a monoidal category, but is related to the coherence of a family of fiber functors. We show that the quantum Weyl group operators of a quantised Kac-Moody algebra U_h(g), together with the universal R-matrices of its Levi subalgebras, give rise to a braided Coxeter structure on integrable, category O-modules for U_h(g). By relying on the 2-categorical extension of Etingof-Kazhdan quantisation obtained in arXiv:1610.09744, we then prove that this structure can be transferred to integrable, category O-representations of g. These results are used in arXiv:1512.03041 to give a monodromic description of the quantum Weyl group operators of U_h(g) which extends the one obtained by the second author for a semisimple Lie algebra.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 브레인 군과 아르틴의 브레인 군의 작용이 유사하고 상호작용하는 텐서 범주로서 브레이들드 코크세터 범주의 정의와 체계화를 목적으로 한다.
• U_h(g)의 리 하위대수의 양자 웨일 군 연산자와 보편 R행렬이 적응 가능한 범주 O 모듈에 브레이들드 코크세터 구조를 부여함을 증명한다.
• 2-카테고리적 에팅호프-카즈단 양자화를 사용하여 이 구조를 U_h(g)-모듈에서 기저 리 대수 g의 적응 가능한 범주 O 표현으로 확장한다.
• 기존의 단순형 리 대수에 대한 결과를 일반화한, 양자 웨일 군 연산자의 단일화 기술을 제공한다.

제안 방법

• 유사한 결합 제약 조건을 지닌 일관성 자료를 통해 브레이들드 코크세터 범주를 정의하며, 이를 가닥 함수자 가족과 연결한다.
• arXiv:1610.09744에서 제시된 에팅호프-카즈단 양자화의 2-카테고리적 확장을 활용하여 U_h(g)에서부터 범주 O로의 구조 전이를 수행한다.
• 범주 O의 객체의 텐서 거듭제곱에 대한 양자 웨일 군 연산자와 리 하위대수의 보편 R행렬의 작용을 활용한다.
• 모노이드 범주에서의 결합 제약 조건과 유사한 형식적 유사성에 기반해 일반화된 브레인 군 B_W와 아르틴 브레인 군 B_n 작용 간의 호환성을 확립한다.
• 가닥 함수자에서 유도된 일관성 조건을 활용하여 브레이들드 코크세터 구조의 일관성을 보장한다.
• 2-카테고리적 양자화를 통한 구조 전이를 적용하여 g의 범주 O 표현에 대해 브레이들드 코크세터 구조를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 객체의 텐서 거듭제곱에 대해 일반화된 브레인 군과 아르틴의 브레인 군의 작용이 유사하고 상호작용하는 텐서 범주를 체계화할 수 있는가?
• RQ2 U_h(g)의 범주 O 모듈에 브레이들드 코크세터 구조를 제공하는 데서 양자 웨일 군 연산자와 보편 R행렬의 역할은 무엇인가?
• RQ3 U_h(g)-모듈에 대한 브레이들드 코크세터 구조는 어떻게 기저 리 대수 g의 범주 O 표현으로 전이되는가?
• RQ4 구축된 구조는 어떻게 기존의 단순형 경우를 초월하여 양자 웨일 군 연산자의 단일화 기술을 일반화하는가?
• RQ5 이 틀에서 브레인 군 작용의 일관성을 보장하는 일관성 조건은 무엇인가?

주요 결과

• U_h(g)의 리 하위대수의 양자 웨일 군 연산자와 보편 R행렬은 적응 가능한 범주 O 모듈에 잘 정의된 브레이들드 코크세터 구조를 제공한다.
• 이 브레이들드 코크세터 구조는 2-카테고리적 에팅호프-카즈단 양자화 절차를 통해 U_h(g)-모듈에서 기저 리 대수 g의 적응 가능한 범주 O 표현으로 전이된다.
• 이로 인해 유도된 구조는 이전의 단순형 리 대수에 대한 결과를 일반화한, 양자 웨일 군 연산자의 단일화 기술을 제공한다.
• B_W와 B_n 작용 간의 호환성은 모노이드 범주에서의 결합 제약 조건과 유사한 형식적 일관성 자료에 기반한다.
• 구조는 가닥 함수자의 일관성에 의존하여 텐서 거듭제곱의 가닥에 걸쳐 일관성을 보장한다.
• 이 틀은 양자 카크무디 대수에 대해 양자 웨일 군 연산자의 단일화 해석을 일반화한다.