[논문 리뷰] Quasi Hopf Deformations of Quantum Groups

C. Frønsdal|arXiv (Cornell University)|1996. 11. 21.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 4인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 표준 호프 대수의 변형 이론에서 발견된 강성 제약 조건을 해소하기 위해 양자군의 준-호프 변형을 도입한다. 준-호프 구조로 일반화함으로써, sl(n)에 대한 완전한 타원 양자군을 준-삼각 준-호프 대수로서 구성한다. 이는 수정된 양-바크스터 관계를 만족하는 보편 R-행렬을 명시적으로 유도하며, 펠더의 양자화 프레임워크를 통해 타원적 해를 도출한다.

ABSTRACT

The search for elliptic quantum groups leads to a modified quantum Yang-Baxter relation and to a special class of quasi-triangular quasi Hopf algebras. This paper calculates deformations of standard quantum groups (with or without spectral parameter) in the category of quasi-Hopf algebras. An earlier investigation of the deformations of quantum groups, in the category of Hopf algebras, showed that quantum groups are generically rigid: Hopf algebra deformations exist only under some restrictions on the parameters. In particular, affine Kac-Moody algebras are more rigid than their loop algebra quotients; and only the latter (in the case of sl(n)) can be deformed to elliptic Hopf algebras. The generalization to quasi-Hopf deformations lifts this restriction. The full elliptic quantum groups (with central extension) associated with $sl(n)$ are thus quasi-Hopf algebras. The universal R-matrices satisfy a modified Yang-Baxter relation and are calculated more or less explicitly. The modified classical Yang-Baxter relation is obtained, and the elliptic solutions are worked out explicitly. The same method is used to construct the Universal R-matrices associated with Felder's quantization of the Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equation, to throw some light on the quasi Hopf structure of conformal field theory and (perhaps) the Calogero-Moser models.

연구 동기 및 목표

• 특히 아핀 카크-무디 대수에 대해 표준 호프 대수 변형 이론의 강성 제약 조건을 극복하기 위해.
• 더 일반적인 양자군의 변형을 허용하기 위해 변형 이론을 호프 대수에서 준-호프 대수로 확장하기 위해.
• 수정된 양-바크스터 관계를 만족하는 타원 양자군의 보편 R-행렬을 구성하기 위해.
• 이러한 구조를 키니즈니크-자몰로드치코프-버나드 방정정식의 양자화 및 초등 이론과 연결하기 위해.
• sl(n) 양자군의 맥락에서 타원 R-행렬의 명시적 해를 제공하기 위해.

제안 방법

• 호프 대수에서 준-호프 대수로의 변형 이론을 일반화하여 강성 제약 조건을 완화하기 위해.
• 준-삼각 준-호프 대수의 프레임워크를 사용하여 표준 양자군의 변형을 구성하기 위해.
• 수정된 양자 양-바크스터 관계를 만족하는 보편 R-행렬을 도출하기 위해.
• 완전한 타원 양자군을 얻기 위해 중심 확장을 갖는 sl(n)의 경우에 이 방법을 적용하기 위해.
• 수정된 양-바크스터 방정식의 타원적 해를 명시적으로 계산하기 위해.
• 이 구성이 키니즈니크-자몰로드치코프-버나드 방정식의 양자화와 연결되어 초등 이론 및 통합 가능 모델과의 관계를 탐색하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 호프 대수 이론의 강성 제약 조건을 초월하여 양자군을 변형할 수 있는가?
• RQ2 어떤 종류의 준-호프 대수가 완전한 타원 양자군의 구성에 허용하는가?
• RQ3 이러한 변형된 양자군의 보편 R-행렬은 어떻게 수정된 양-바크스터 관계를 만족하는가?
• RQ4 중심 확장을 갖는 sl(n)의 경우에서 보편 R-행렬의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ5 이 구성은 키니즈니크-자몰로드치코프-버나드 방정식의 펠더의 양자화와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• sl(n)에 관련된 완전한 타원 양자군은 이전의 호프 대수 변형에서의 강성 문제를 해결하기 위해 준-삼각 준-호프 대수로서 실현된다.
• 이 대수의 보편 R-행렬은 수정된 양자 양-바크스터 관계를 만족하며, 표준 브레이드 관계를 일반화한다.
• sl(n)의 경우에 대해 수정된 양-바크스터 방정식의 명시적 타원적 해가 도출된다.
• 이 방법은 키니즈니크-자몰로드치코프-버나르드 방정식의 양자화와 호환되는 보편 R-행렬을 성공적으로 구성한다.
• 준-호프 구조는 초등 이론 및 칼로지어-모저 시스템과 같은 통합 가능 모델을 이해하는 데 자연스러운 프레임워크를 제공한다.