[논문 리뷰] Quasi-invariance for heat kernel measures on sub-Riemannian infinite-dimensional Heisenberg groups

Fabrice Baudoin, Maria Gordina외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 07.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 부분리만다이닉 하이젠버그 군에서의 열핵 측도에 대해 캠브리지-마르틴 유형의 준불변성을 확립하며, 캠브리지-마르틴 부분군의 원소에 의한 이동에 대해 측도가 준불변임을 증명하고, 라돈-니코다임 도함수의 $L^p$-노름 추정을 제공한다. 주요 결과는 유한차원 사영에 대한 일반화된 곡률-차원 추정에 기반하며, 부분타원적 설정에서 역 피카르레 및 하르낙 부등식을 도출하는 데 기여한다.

ABSTRACT

We study heat kernel measures on sub-Riemannian infinite-dimensional Heisenberg-like Lie groups. In particular, we show that Cameron-Martin type quasi-invariance results hold in this subelliptic setting and give $L^p$-estimates for the Radon-Nikodym derivatives. The main ingredient in our proof is a generalized curvature-dimension estimate which holds on approximating finite-dimensional projection groups. Such estimates were first introduced by Baudoin and Garofalo in \cite{BaudoinGarofalo2011}.

연구 동기 및 목표

• 전통적인 리치 곡률 하한이 존재하지 않는 무한차원 부분리만다이닉 설정에서 열핵 측도의 준불변성을 확립하기 위해.
• 무한차원 하이젠버그 유사 군에서 부분타원적 확산 과정으로 캠브리지-마르틴 유형 결과를 확장하기 위해.
• 캠브리지-마르틴 부분군 원소에 의한 이동에 대해 열핵 측도의 라돈-니코다임 도함수에 대한 $L^p$-추정을 제공하기 위해.
• 기본 측도가 존재하지 않는 상황에서도 관련 준군의 강한 펠러 성질을 보여주기 위해.
• 퇴행적인 부분타원적 프레임워크에서 역 피카르레 및 왕 유형 하르낙 부등식을 포함한 함수 불등식을 개발하기 위해.

제안 방법

• 바우도인과 가로팔로(2010)의 기법을 확장하여 유한차원 사영 군 $G_P$에서의 일반화된 곡률-차원 추정을 활용한다.
• 기하학적 및 해석적 성질을 유지하면서 유한차원 근사 $G_P$에서 무한차원 군 $G$로의 극한 절차를 적용한다.
• 교환관계와 곡률 하한을 이용해 $G_P$에서 역 피카르레 부등식을 도출하고, 이를 $G$로 승격시킨다.
• 하르낙 부등식을 적용하여 열핵 밀도 비율을 제어하고, 라돈-니코다임 도함수의 $L^p$-경계를 유도한다.
• 열핵 측도의 오른쪽 이동 불변성과 역원에 대한 대칭성을 활용하여 왼쪽 및 오른쪽 이동 도함수를 연결한다.
• $L^p$-경계와 전이 밀도의 연속성을 활용하여, $G_{CM}$에서 준군의 균일 수렴을 통해 강한 펠러 성질을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 부분리만다이닉 하이젠버그 군에서의 열핵 측도는 캠브리지-마르틴 부분군 원소에 의한 이동에 대해 여전히 준불변인가?
• RQ2 리치 곡률 하한이 존재하지 않는 상황에서 라돈-니코다임 도함수에 대한 $L^p$-추정을 확립할 수 있는가?
• RQ3 부분타원적, 무한차원 설정에서 역 피카르레 및 하르낙 부등식은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 이러한 군에서 부분라플라스에 의해 생성된 준군은 캠브리지-마르틴 부분군에서 강한 펠러인가?
• RQ5 유한차원에서의 함수 불등식은 무한차원 부분리만다이닉 군으로 얼마나 넓게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 무한차원 부분리만다이닉 하이젠버그 군 $G$에서의 열핵 측도 $\nu_T$ 는 캠브리지-마르틴 부분군 $G_{CM}$의 원소에 의한 좌측 이동에 대해 준불변이다.
• 모든 $p \in (1, \infty)$에 대해 라돈-니코다임 도함수 $d(\nu_T \circ L_y^{-1})/d\nu_T$ 는 $L^p(G, \nu_T)$에 속하며, 거리 $d(x,y)$와 파am터 $\|\omega\|_2^2/\rho_2$를 포함한 명시적 경계가 존재한다.
• $G$에서 왕 유형 하르낙 부등식이 성립하며, 지수 인자에 $d^2(x,y)/(4(p-1)T)$와 곡률 보정 항 $1 + 2\|\omega\|_2^2/\rho_2$ 가 포함된다.
• 준군 $P_T$ 는 $G_{CM}$에서 강한 펠러 성질을 가지며, 이는 유계 measurable 함수 $f$에 대해 $P_T f$ 가 연속적임을 의미한다. 이는 차이 $|P_T f(x) - P_T f(y)|$ 가 $d(x,y) \to 0$ 일 때 소멸하기 때문이다.
• 라돈-니코다임 도함수의 $L^p$-노름 추정은 곡률-차원 하한이 검증된 유한차원 사영 $G_P$에서의 극한 근사에 의해 도출된다.
• 경로 기반 기르산로프 유형 정리 없이도 강한 펠러 성질이 확립되었으며, 대신 함수 불등식과 유한차원 근사의 수렴성에 의존한다.