[논문 리뷰] Quasi-invariant and pseudo-differentiable measures on a non-Archimedean Banach space. II. Measures with values in non-Archimedean fields

S. V. Lüdkovsky|ArXiv.org|2001. 06. 20.

advanced mathematical theories참고 문헌 30인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbf{Q}_p$와 같은 비아르키메데스 체 위의 바나흐 공간에 대한 고전적 측도 이론 결과의 비아르키메데스 해석을 수립한다. $\mathbf{K}_s$ 값을 갖는 준불변 및 초미분 가능 측도를 도입하고, 보흐너-콜모고로프 및 민로스-사조노프 정리의 비아르키메데스 해석을 증명하며, 무한 곱 측도를 구성하고, 카쿠타니 정리의 비아르키메데스 해석을 증명한다. 이 측도들에 대한 수렴 정리들은 적절한 측도 공간의 위상수학적 구조에서 성립한다.

ABSTRACT

Quasi-invariant and pseudo-differentiable measures on a Banach space $X$ over a non-Archimedean locally compact infinite field with a non-trivial valuation are defined and constructed. Measures are considered with values in non-Archimedean fields, for example, the field $\bf Q_p$ of $p$- adic numbers. Theorems and criteria are formulated and proved about quasi-invariance and pseudo-differentiability of measures relative to linear and non-linear operators on $X$. Characteristic functionals of measures are studied. Moreover, the non-Archimedean analogs of the Bochner-Kolmogorov and Minlos-Sazonov theorems are investigated. Infinite products of measures are considered and the analog of the Kakutani theorem is proved. Convergence of quasi-invariant and pseudo-differentiable measures in the corresponding spaces of measures is investigated.

연구 동기 및 목표

• 비아르키메데스 체(예: $\mathbf{Q}_p$) 위의 바나흐 공간에 대해 고전적 측도이론 결과—예를 들어 준불변성, 초미분 가능성, 특성 함수 기능—을 비아르키메데스 바나흐 공간으로 확장하기.
• 실수 값 측도와 $\mathbf{K}_s$-값 측도 사이의 기본적 차이, 즉 $\sigma$-加법성, 적분 가능성, 수렴성에 대한 이해를 다루기.
• 비아르키메데스 바나흐 공간에서 선형 및 비선형 변환 하에 넓은 범주로의 준불변 및 초미분 가능 측도를 구성하기.
• 측도의 특성 함수 기능에 대해 보흐너-콜모고로프 및 민로스-사조노프 정리의 비아르키메데스 해석을 수립하기.
• 이러한 측도들이 측도 공간 내에서 수렴하는 조건을 다루며, 준불변성 및 초미분 가능성 성질을 통합적으로 고려하기.

제안 방법

• 비아르키메데스 체 $\mathbf{K}$ 위의 바나흐 공간 $X$에 대해 $\mathbf{K}_s$ 값을 갖는 측도를 정의하며, 이는 $\mathbf{Q}_s$의 유한 확장에 값이 있다.
• 약한 분포와 측도 $\mu$에 대한 특성 함수 기능 $\theta(z) = \hat{\mu}(z)$를 도입하고, 비아르키메데스 설정에서의 성질을 연구한다.
• 무한 곱 측도를 구성하고, 비아르키메데스 해석의 카쿠타니 정리—즉, 곱 측도의 동치성과 독립성에 대한 정리—를 증명한다.
• 고전적 미분 가능성의 부재 속에서 비틀린 미분 가능성을 일반화된 미분 연산자 $\tilde{D}^b_{U_*}$를 통해 정의한다.
• 에고로프 유사 조건과 $\mathbf{K}_s$-값 측도에 적응된 르베그 수렴 정리를 사용하여 측도 공간 내 수렴을 분석한다.
• $\Phi_4$-필터와 $\hat{\Phi}_4$-필터를 사용하여 변환 하에서 측도의 수렴성과 동치성을 특성화하며, $Bco(X)$의 구조와 라돈 유형 정규성의 특성을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 값이 $\mathbf{K}_s$인 측도의 특성 함수 기능에 대해 보흐너-콜모고로프 및 민로스-사조노프 정리의 비아르키메데스 해석은 무엇인가?
• RQ2 비아르키메데스 바나흐 공간 위의 $\mathbf{K}_s$-값 측도에 대해 준불변성과 초미분 가능성은 어떻게 정의되고 특성화될 수 있는가?
• RQ3 준불변성 및 초미분 가능성 측도의 수열이 측도 공간 내에서 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 무한 곱 측도에 대해 카쿠타니 정리의 비아르키메데스 해석은 무엇인가?
• RQ5 비아르키메데스 측도의 위상적 및 대수적 성질은 실수 값 측도와 어떻게 다를까? 특히 $\sigma$-加법성과 라돈-니코다임 성질 측면에서.

주요 결과

• 비아르키메데스 해석의 보흐너-콜모고로프 정리가 수립되었으며, 이는 $\mathbf{K}_s$-값 설정에서 측도를 그 특성 함수 기능을 통해 특성화한다.
• 민로스-사조노프 정리는 비아르키메데스 체로 확장되었으며, 이는 쌍대 공간 위의 함수가 측도에서 유래될 수 있는 조건을 제공한다.
• 비아르키메데스 바나흐 공간에서 무한 곱 측도에 대해 카쿠타니 정리의 해석이 증명되었으며, 곱 측도의 동치성과 독립성을 결정한다.
• 논문은 초미분 가능 측도가 반드시 준불변이어야 한다는 것을 증명하며, 비아르키메데스 프레임워크 내에서 두 개념을 연결한다.
• 에고로프 조건과 $\mathbf{K}_s$-값 $L^1$-공간 내 르베그 유사 수렴을 사용하여 준불변 및 초미분 가능 측도의 수열에 대한 수렴 정리(정리 5.7–5.10)를 수립한다.
• $\Phi_4$-필터의 존재성과 $\hat{\Phi}_4$-필터와의 관계를 이용하여 변환된 측도의 수렴을 특성화하며, $\tilde{D}^b_{U_*}$-미분은 $\mu$-거의 모든 곳에서 밀도 함수 $\rho_\mu(g,x)$와 일치한다.