[논문 리뷰] Quasi-Invariant Optimal Control Problems

Delfim F. M. Torres|ArXiv.org|2003. 02. 21.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 19인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 변환 매개변수의 1차 항까지의 불변성만을 요구하는 최적제어 문제에 대해 노터의 정리를 일반화하여, 일반화된 '준불변성' 개념을 도입함으로써, 고전적 불변성 조건을 만족하지 않더라도 보존 법칙을 도출할 수 있도록 확장한다. 주요 기여는 1파라미터 변환군 하에서 준불변인 시스템에 대해 폰트리아긴 극값선을 따라 보존되는 양이 존재함을 보여주는 새로운 노터 유형 정리이다. 이는 고전적 불변성이 성립하지 않는 시간 최적 제어 문제들에 대한 적용 사례를 통해 입증된다.

ABSTRACT

We study in optimal control the important relation between invariance of the problem under a family of transformations, and the existence of preserved quantities along the Pontryagin extremals. Several extensions of Noether theorem are provided, in the direction which enlarges the scope of its application. We formulate a more general version of Noether's theorem for optimal control problems, which incorporates the possibility to consider a family of transformations depending on several parameters and, what is more important, to deal with quasi-invariant and not necessarily invariant optimal control problems. We trust that this latter extension provides new possibilities and we illustrate it with several examples, not covered by the previous known optimal control versions of Noether's theorem.

연구 동기 및 목표

• 일파라미터 변환군 하에서 엄격한 불변성 조건을 준불변성 조건으로 완화함으로써 최적제어 문제에 대한 노터의 정리를 일반화하는 것.
• 엄격히 불변하지는 않지만 1차 불변성 조건을 만족하는 문제에 적용 가능한 보존 법칙 유도를 위한 보다 넓은 프레임워크를 구축하는 것.
• 변환 매개변수에 대해 o(s) 차수의 항까지 불변인 라그랑지안과 동역학을 갖는 최적제어 시스템에서 보존 양을 체계적으로 식별하는 방법을 제공하는 것.
• 이전의 최적제어 버전의 노터 정리가 적용되지 않는 범위를 초월하는 사례들을 통해 신규 정리의 적용 가능성을 입증하는 것.
• 포트리아진 최대원리의 맥락에서 다중파라미터 변환과 준불변성을 통합함으로써 기존 문헌의 결과를 통합하고 확장하는 것.

제안 방법

• 최적제어 문제에 대해 변환 매개변수 s에 대해 o(s) 차수의 항까지의 차이가 존재하는 변환 기반의 준불변성의 일반화된 정의를 도입한다.
• 1파라미터 변환군 하에서의 준불변성과 폰트리아진 극값선을 따라 보존되는 양의 존재를 연결하는 새로운 노터 유형 정리(정리 5.1)를 유도한다.
• 해밀토니안 형식과 포트리아진 최대원리를 사용하여 최적성의 필요조건을 유도하며, 이는 쌍대계와 최대화 조건을 포함한다.
• 기본 불변성 정리(정리 4.1)를 활용하여, 변환된 상태 및 제어 변수의 시간 도함수가 o(s) 항까지 원래 동역학과 일치하는지 확인함으로써 준불변성을 검증한다.
• 변환 생성자에 대한 편미분과 쌍대변수 ψ를 포함하는 공식을 통해 보존 양을 구성한다.
• 시간 최적 제어 문제(L=1)에 대해 방법을 검증함으로써, 기능과 동역학이 엄격히 불변하지 않지만 준불변성 조건을 만족함에 따라 정확한 보존 법칙이 도출됨을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적제어 문제에서 노터의 정리를 엄격한 불변성 조건을 만족하지 않지만 변환 매개변수의 1차 항까지의 준불변성 조건을 만족하는 시스템으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 다중파라미터 준불변 변환 하에서 최적제어 문제의 보존 양의 일반형은 어떠한가?
• RQ3 시간 도함수를 활용하여 제어 시스템과 관련 기능의 준불변성을 체계적으로 검증할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ4 특히 시간 최적 제어 문제 또는 비정상 라그랑지안을 갖는 문제들 중에서, 기존 고전적 노터 정리로는 유도할 수 없었던 새로운 보존 법칙을 도출할 수 있는 최적제어 문제의 범주는 무엇인가?
• RQ5 적절한 함수 F(s)를 선택함으로써 기능이 정확한 미분형태로 불변화될 수 있도록 수정할 경우, 보존 양은 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 논문은 1파라미터 변환군 하에서 준불변인 최적제어 문제에 대해 폰트리아진 극값선을 따라 보존되는 양이 존재함을 보장하는 새로운 노터 유형 정리(정리 5.1)를 수립하였다.
• 예제 6.3에서, 주어진 변환 하에서의 준불변성으로 인해 보존 법칙 $ \psi_{1}(t)(x_{1}(t)-t) + \psi_{2}(t)x_{2}(t) + \psi_{3}(t)x_{3}(t) + 2\psi_{4}(t)x_{4}(t) \equiv \text{constant} $ 이 성립한다.
• 예제 6.4에서는 동역학에 o(s) 항이 포함된 준불변 변환으로부터 보존 양 $ 2\psi_{x}(x-t) + \psi_{y}y + \psi_{z}z $ 가 도출되었다.
• 기능이 $ F = s x_3 $ 또는 $ F = s z $ 와 같이 적절한 함수를 추가함으로써 정확한 미분형태로 불변화될 경우, 문제는 엄격히 불변이 되며, 이에 따라 보존 양에 각각 $ \psi_0 x_3 $ 또는 $ \psi_0 z $ 항이 추가된다.
• 고전적 불변성 조건을 만족하지 않는 시간 최적 제어 문제에서 이 방법은 새로운 보존 법칙을 성공적으로 식별하였으며, 준불변성 프레임워크의 더 넓은 적용 가능성을 입증하였다.
• 이 프레임워크는 다중파라미터 변환을 허용하며, 고전적 불변성 조건을 초월하여 이전에는 해결이 어려웠던 경우에도 보존 양을 발견할 수 있도록 하였다.