[논문 리뷰] Quasi-isometry classification of right-angled Artin groups II: several infinite out cases

Jingyin Huang|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 08.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 외부자기동형군이 무한대인 두 가지 새로운 종류의 직각 아르틴 군(RAAGs) — 구체적으로 약한 유형 I 및 유형 II RAAGs — 에 대해 준동형 등급의 강성 결과를 확립한다. 이는 두 RAAGs가 유사등거리일 조건과 공통 부분군을 가질 조건이 동치임을 증명함으로써 이루어진다. 저자들은 재구성 사상의 실패로 인한 과제를 극복하기 위해 변형 기법과 큐브룰레이션 기법을 도입하였으며, 정의 그래프를 이용한 유사등거리성 결정 알고리즘을 제공한다.

ABSTRACT

We are motivated by the question that for which class of right-angled Artin groups (RAAG's), the quasi-isometry classification coincides with commensurability classification. This is previously known for RAAG's with finite outer automorphism groups. In this paper, we identify two classes of RAAG's, where their outer automorphism groups are allowed to contain adjacent transvections and partial conjugations, hence infinite. If $G$ belongs to one of these classes, then any other RAAG $G'$ is quasi-isometric to $G$ if and only if $G'$ is commensurable to $G$. We also show that in this case, there exists an algorithm to determine whether two RAAG's are quasi-isometric by looking at their defining graphs. Compared to the finite out case, as well as the previous quasi-isometry rigidity results for symmetric spaces, thick Euclidean buildings and mapping class groups, the main issue we need to deal with here is the reconstruction map may not have nice properties as before, or may not even exist. We introduce a deformation argument, as well as techniques from cubulation to deal with this issue.

연구 동기 및 목표

• RAAGs의 유사등거리 강성 결과를 외부자기동형군이 유한한 경우를 초월하여 확장하기 위해.
• 외부자기동형군이 무한대일 때도 유사등거리성에 의해 공통 부분군이 성립하는 새로운 RAAGs의 종류를 규명하기 위해.
• 이전의 강성 결과에서 핵심이 되는 재구성 사상이 존재하지 않거나 좋은 성질을 갖지 못하는 경우에 발생하는 과제를 해결하기 위해.
• 표준 재구성 사상이 필요 없이도 작동하는 변형 기반 방법과 큐브룰레이션을 활용하여 강성을 확보하기 위해.
• 정의 그래프만을 이용하여 두 RAAGs 간의 유사등거리성을 결정할 수 있는 알고리즘을 제공하기 위해.

제안 방법

• 정의 그래프의 구조적 성질, 특히 별과 분리 조건을 바탕으로 약한 유형 I 및 유형 II RAAGs의 개념을 도입한다.
• 확장 복합체와 그 타이어/지류를 사용하여 거시기하학과 유사등거리 불변량을 분석한다.
• 벽과 평면의 구조를 통해 큐브룰레이션 기법을 적용하여 RAAGs의 기하학을 연구한다.
• 재구성 사상이 존재하지 않거나 유사등거리가 아닐 경우를 다루기 위해 변형 기법을 개발한다.
• RAAGs의 소분할 복합체 간의 단순형 동형사상을 구성하여 그들의 거시기하학적 구조를 비교한다.
• 정의 그래프의 단순형 임bedding을 통해 군의 단사형 사상을 정의하며, 교환관계를 이용해 잘 정의되고 유사등거리 불변임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외부자기동형군이 무한대인 어떤 RAAGs 종류에서 유사등거리성은 공통 부분군을 함의하는가?
• RQ2 재구성 사상이 존재하지 않거나 바람직한 성질을 갖지 못할 경우 이를 피하거나 대체할 수 있는가?
• RQ3 큐브룰레이션과 변형 기법은 복잡한 외부자기동형군을 가진 RAAGs에서 강성을 어떻게 확립하는가?
• RQ4 정의 그래프의 어떤 그래프 이론적 불변량이 외부자기동형군이 무한대인 RAAGs의 유사등거리 유형을 결정하는가?
• RQ5 두 RAAGs 간의 유사등거리성을 정의 그래프만을 기반으로 결정할 수 있는 알고리즘이 존재하는가?

주요 결과

• 약한 유형 I 또는 유형 II RAAGs는 유사등거리 강성 조건을 만족한다: 두 RAAGs가 유사등거리일 필요충분조건은 공통 부분군을 가질 것임.
• 약한 유형 I의 경우 재구성 사상은 항상 존재하며, 이는 분리된 닫힌 별이 없고 별의 일정한 합집합 조건이 성립하지 않을 때 성립한다.
• 유형 II의 경우 재구성 사상이 존재하지 않을 수 있지만, 변형 기법과 큐브룰레이션 기법을 통해 여전히 강성이 확보된다.
• 정의 그래프의 분석을 통해 소분할 복합체를 활용하여 RAAGs 간의 유사등거리성을 결정하는 알고리즘을 구축하였다.
• 소분할 복합체 $\ncal{P}(\ncal{G})$ 는 유사등거리 불변량이며, 이러한 복합체 간의 동형사상은 해당 RAAGs의 유사등거리성을 함의한다.
• 명시적인 예시들이 구성되었으며, 이는 $\ncal{P}(\ncal{G})$ 와 $\ncal{P}(\ncal{G}')$ 이 동형이지만 $G$ 와 $G'$ 는 유사등거리가 아닐 수 있음을 보여주며, 더 세밀한 불변량이 필요함을 입증한다.