[논문 리뷰] Quasi-local Algebras and Asymptotic Expanders

Kang Li, Piotr W. Nowak외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 21.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 37인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 확산자들을 일반화한 점점 커지는 유한 거리 공간의 시퀀스인 점점 커지는 확산자(asymptotic expanders)를 도입하고, 균일 로 알지브라와 균일 준국소 알지브라를 구별하는 데서 그 역할을 규명한다. 이는 평균화 사영원소가 균일 준국소 알지브라에 속해 있는지 여부가 그 시퀀스가 점점 커지는 확산자이기만 하면 되며, 이러한 알지브라가 근본적으로 핵심적일 때만 해당 공간이 성질 A를 가진다는데 초점을 맞춘다.

ABSTRACT

In this paper, we study the relation between the uniform Roe algebra and the uniform quasi-local algebra associated to a metric space of bounded geometry. In the process, we introduce a weakening of the notion of expanders, called asymptotic expanders. We show that being a sequence of asymptotic expanders is a coarse property under certain connectedness condition, and it implies non-uniformly local amenability. Moreover, we also analyse some $C^*$-algebraic properties of uniform quasi-local algebras. In particular, we show that a uniform quasi-local algebra is nuclear if and only if the underlying metric space has Property A.

연구 동기 및 목표

• 유계 기하학적 성질을 가진 거리 공간에서 균일 로 알지브라와 균일 준국소 알지브라 사이의 구조적 차이를 이해하기 위해.
• 특히 평균화 사영원소 $ C^{*}_{u}(X) = C^{*}_{uq}(X) $ 의 등식에 대한 장애 요소를 규명하기 위해, 특히 평균화 사영원소 $ P_X $ 를 중심으로 한다.
• 확산자의 일반화로서 새로운 점점 커지는 확산자 클래스를 도입하고, 완전한 확산 조건 없이도 근본적인 근본 기하학적 강성(coarse geometric rigidity)을 포착하는 데 목적이 있다.
• 균일 준국소 알지브라의 $ C^* $-대수적 성질, 특히 핵심성(nuclearity)과 카르탕 부분대수의 구조를 분석하기 위해.
• 근본 기하학, 준국소성, 힐베르트 공간으로의 임bedding 간의 상호작용을 조사하기 위해.

제안 방법

• 모든 $ \alpha > 0 $ 에 대해, $ c \in (0,1) $, $ R > 0 $ 가 존재하여, 모든 $ A \subseteq X_n $ 에 대해 $ \alpha|X_n| \leq |A| \leq |X_n|/2 $ 를 만족할 때 $ |\partial_R A| > c|A| $ 를 만족하는 균일 등면적 조건을 통해 점점 커지는 확산자를 정의한다.
• 균일 준국소 알지브라 $ C^{*}_{uq}(X) $ 에 속하는지 여부에 대해, 균일 이격 합집합 $ X = \bigsqcup X_n $ 에서의 평균화 사영원소 $ P_X $ 는 $ \{X_n\} $ 이 점점 커지는 확산자 시퀀스일 때이고, 그 때에만 준국소적이다.
• $ \mathfrak{B}(\ell^2(X)) $ 내의 $ \ell^\infty(X) $ 의 정규화자(normalizer)를 이용하여 $ C^{*}_{uq}(X) $ 의 원소를 특성화하고, 이가 $ C^{*}_{u}(X) $ 의 정규화자와 정확히 일치함을 보인다.
• 균일 준국소 알지브라 $ C^{*}_{uq}(X) $ 가 핵심적일 조건은 성질 A를 가진다. 이를 위해 점점 커지는 확산자와 준국소성의 특성화를 이용하여 핵심성 조건을 증명한다.
• $ \ell^\infty(X) \subseteq C^{*}_{uq}(X) $ 의 카르탕 쌍의 구조를 분석하고, 정규화자 생성을 통해 이가 카르탕 포함 관계임을 증명한다.
• Finn-Sell 등의 결과를 적용하여, 만약 $ X $ 가 힐베르트 공간으로 균일하게 임베딩 가능하다면 $ P_X \notin C^{*}_{u}(X) $ 임을 보이고, 따라서 $ X $ 가 점점 커지는 확산자들의 균일 이격 합집합이며 $ P_X \in C^{*}_{uq}(X) $ 라면 $ C^{*}_{u}(X) \subsetneq C^{*}_{uq}(X) $ 임을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일 이격 합집합 $ X = \bigsqcup X_n $ 에서의 평균화 사영원소 $ P_X $ 는 언제 균일 준국소 알지브라 $ C^{*}_{uq}(X) $ 에 속하는가?
• RQ2 점점 커지는 확산자 시퀀스는 힐베르트 공간으로 균일하게 임베딩 가능할 수 있으며, 이는 $ C^{*}_{u}(X) \subseteq C^{*}_{uq}(X) $ 포함관계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 균일 준국소 알지브라 $ C^{*}_{uq}(X) $ 가 핵심적일 조건은 근본 공간 $ X $ 가 성질 A를 가질 때뿐인가?
• RQ4 $ \ell^\infty(X) \subseteq C^{*}_{uq}(X) $ 의 카르탕 쌍의 구조가 성립하는가? 그리고 이는 $ C^{*}_{uq}(X) $ 의 대수적 생성에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 균일 로 알지브라가 진정한 부분집합인 $ C^{*}_{u}(X) \subsetneq C^{*}_{uq}(X) $ 인 공간 $ X $ 는 힐베르트 공간으로 균일하게 임베딩 가능할 수 있으며, 이는 균일 바움-콘스 추측에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 균일 이격 합집합 $ X = \bigsqcup X_n $ 에서의 평균화 사영원소 $ P_X $ 는 $ \{X_n\} $ 이 점점 커지는 확산자 시퀀스일 때이고, 그 때에만 준국소적이다.
• 점점 커지는 확산자는 표준적인 확산자 조건을 만족하지 않더라도 점점 커지는 조건을 만족하는 예시를 통해 표준 확산자보다 엄밀히 더 일반적임을 보였다.
• 그래프가 연결되어 있고 차수의 유계성이 있는 조건 하에서 점점 커지는 확산자 시퀀스는 균일 동치 관계 하에서 균일 불변(coarse invariant)이다.
• 점점 커지는 확산자 시퀀스는 균일 국소 애너블리티와 호환되지 않으며, 이는 애너블리티에 대한 근본 기하학적 장애를 암시한다.
• 균일 준국소 알지브라 $ C^{*}_{uq}(X) $ 는 근본 거리 공간 $ X $ 가 성질 A를 가질 때에만 핵심적이다.
• 만약 $ X $ 가 점점 커지는 확산자들의 균일 이격 합집합이며 $ C^{*}_{u}(X) = C^{*}_{uq}(X) $ 라면, $ X $ 는 어떤 힐베르트 공간으로도 균일하게 임베딩될 수 없다. 왜냐하면 $ P_X \in C^{*}_{u}(X) $ 이면, 이러한 로 알지브라에서 비컴act 거래 프로젝션의 부재와 모순되기 때문이다.