[논문 리뷰] Quasi Maximum Likelihood Estimation and Inference of Large Approximate Dynamic Factor Models via the EM algorithm

Matteo Barigozzi, Matteo Luciani|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 09.

Monetary Policy and Economic Impact인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 EM 알고리즘과 칼만 스무서를 사용하여 대규모 근사 동적 요인 모형에 대한 준최대우도추정(QMLE) 프레임워크를 제안한다. 요인과 하중의 점근 정규성과 효율성을 확립하며, 하중은 √T-일致성이고 PCA와 동일한 효율성을 가지며, 이면 오차가 흩어져 있을 경우 요인은 √n-일치성이고 더 효율적이며, n과 T가 동시에 발산할 조건 하에서 성립한다.

ABSTRACT

We study estimation of large Dynamic Factor models implemented through the Expectation Maximization (EM) algorithm, jointly with the Kalman smoother. We prove that as both the cross-sectional dimension, $n$, and the sample size, $T$, diverge to infinity: (i) the estimated loadings are $\\sqrt T$-consistent, asymptotically normal and equivalent to their Quasi Maximum Likelihood estimates; (ii) the estimated factors are $\\sqrt n$-consistent, asymptotically normal and equivalent to their Weighted Least Squares estimates. Moreover, the estimated loadings are asymptotically as efficient as those obtained by Principal Components analysis, while the estimated factors are more efficient if the idiosyncratic covariance is sparse enough.

연구 동기 및 목표

• 대규모 근사 동적 요인 모형에 대한 확장 가능하고 통계적으로 효율적인 추정 방법을 개발하기 위해.
• 교차 차원(n)과 표본 크기(T)가 동시에 발산할 조건 하에서 EM 기반 QMLE 추정기의 점근적 성질을 규명하기 위해.
• 기존 방법들인 PCA와 가중 최소제곱법과의 비교를 통해 추정된 하중과 요인의 효율성을 평가하기 위해.
• 고차원 설정에서 EM 기반 추정기가 최적의 효율성을 달성할 조건을 조사하기 위해.

제안 방법

• 대규모 동적 요인 모형에서 하중과 요인의 최대우도 추정치를 반복적으로 계산하기 위해 EM 알고리즘이 사용된다.
• 관측된 데이터로부터 미관측 동적 요인을 추정하기 위해 칼만 스무서가 EM 프레임워크에 통합된다.
• 이 방법은 하중과 요인을 EM 프레임워크 내에서 누락된 자료로 간주하며, E단계(잠재변수의 기대값 계산)와 M단계(우도 최대화)를 번갈아 수행한다.
• 오차 항에 대한 완전한 분포 가정이 필요 없는 준우도 함수를 기반으로 한 추정 절차가 구축된다.
• n과 T가 동시에 무한으로 발산하는 공동 극한 하에서 점근 이론이 개발되어 일致성과 정규성을 보장한다.
• 이 방법은 이면 오차의 약한 교차 차원적 의존성과 이방성(variance heteroskedasticity)을 허용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 동적 요인 모형에서 EM 기반 QMLE 추정기는 어떤 조건 하에서 일치성과 점근 정규성을 가지는가?
• RQ2 주성분 분석으로부터 구한 하중과 비교할 때 추정된 하중의 효율성은 어떠한가?
• RQ3 특히 이면 공분산 행렬의 흩어짐이 있는 경우 추정된 요인의 점근 분포와 효율성은 어떠한가?
• RQ4 칼만 스무서를 통한 EM 알고리즘이 고차원 설정에서 계산적으로 확장 가능하고 통계적으로 최적의 해를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 추정된 하중은 √T-일치성이고 점근 정규성을 가지며, 그 점근 분포는 준최대우도추정기와 동일하다.
• 추정된 요인은 √n-일치성이고 점근 정규성을 가지며, 그 점근 분포는 가중 최소제곱 추정기와 동일하다.
• 동일한 정규 조건 하에서 추정된 하중은 주성분 분석에서 구한 하중과 동일한 점근 효율성을 달성한다.
• 이면 공분산 행렬이 충분히 흩어져 있을 경우 추정된 요인은 WLS 추정치보다 더 효율적이다.
• 칼만 스무서를 통한 EM 알고리즘은 n과 T가 동시에 ∞로 발산하는 극한 하에서 대규모 근사 동적 요인 모형에 대해 일치성 있고 효율적인 추정 프레임워크를 제공한다.