[논문 리뷰] Quasi-modular forms and trace functions associated to free boson and lattice vertex operator algebras

Chongying Dong, Geoffrey Mason외 1명|ArXiv.org|2000. 04. 20.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 자유 보존 및 격자 버전 연산자 대수(VOA)에서의 추적 함수가 모듈러 또는 준모듈러 성질을 갖는다는 것을 입증한다: $d$개의 자유 보존에 대해선 추적 함수가 $f(q)/\eta(q)^d$ 형태이며, $f(q)$는 준모듈러 형식이다. 격자 VOA의 경우 추적 함수는 모듈러 형식이다. 핵심 결과는 구면 조화 다항식과 주요 장 사이의 연결을 밝히며, 1차수의 모든 캐스프 형식이 $V_{E_8}$에서 추적 함수로 나타남을 보여주어 VOA에서의 모듈러 성질을 일반화한다.

ABSTRACT

We study graded traces of vectors in free bosonic vertex operator algebras and lattice vertex operator algebras. We show in particular that trace functions in these two theories always have the shape f(q)/η(q)^d where f(q) is quasi-modular in the case of d free bosons, and modular (i.e., a sum of holomorphic modular forms of various weights) in the case of theories based on a lattice L of rank d. We also show how spherical harmonic polynomials with respect to L are related to primary fields in lattice theories.

연구 동기 및 목표

• 버전 연산자 대수(VOA)에서 1점 상관함수(추적 함수)의 모듈러 또는 준모듈러 성격을 이해하기 위해.
• 이러한 추적 함수가 언제 모듈러 또는 모듈러에서 벗어나는지, 특히 자유 보존 및 격자 VOA에서 정확히 언제인지 규명하기 위해.
• 격자 VOA에서 구면 조화 다항식과 주요 장 사이의 정확한 대응관계를 설정하기 위해.
• 일부 링에서의 모든 모듈러 형식(또는 준모듈러 형식)이 이러한 VOA에서 추적 함수로 실현될 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• VOA에서의 1점 상관함수를 분석하기 위해 Zhu의 추적 함수 이론 $Z(v,q) = \operatorname{tr}_V o(v) q^{L(0)-c/24}$ 를 사용한다.
• 자유 보존 VOA에서의 추적 함수를 특징짓기 위해 준모듈러 형식 이론 $Q(N,\epsilon) = M(N,\epsilon)[E_2]$ 를 적용한다.
• 헤이젠베르크 VOA $M(1)$ 과 격자 VOA $V_L$ 의 구조를 이용하여 추적 함수를 $f(q)/\eta(q)^d$ 로 분해한다.
• 주요 장이 $h_i(0)$ 와 $L(2)$-소멸 조건을 통해 구면 조화 다항식과 연결됨을 규명한다.
• 추적 사상의 단면을 통해 $V$ 의 부분공간과 준모듈러 형식의 링 $Q$ 사이에 명시적인 동형사상을 구성한다.
• 특히 $h_0(0)^k$ 가 $V_L$ 에서 $P(\alpha)$ 로 작용함을 이용하여 추적을 계산하고, 영점 모드 항 외에는 기여가 없음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 버전 연산자 대수(VOA)에서의 추적 함수가 언제 모듈러 또는 준모듈러 형식이 되는가?
• RQ2 격자 VOA에서의 구면 조화 다항식은 주요 장과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 자유 보존 또는 격자 VOA에서 모든 모듈러 형식 또는 준모듈러 형식이 추적 함수로 실현될 수 있는가?
• RQ4 VOA $M(1)$ 과 $V_L$ 에서 추적 사상 $v \mapsto Z(v,q)$ 의 정확한 구조는 무엇인가?
• RQ5 모든 1차수의 캐스프 형식이 $V_{E_8}$ 에서 추적 함수로 나타나는가?

주요 결과

• 자유 보존 $d$개의 VOA에 대해선 모든 추적 함수가 $f(q)/\eta(q)^d$ 형태이며, $f(q)$ 는 준모듈러 형식의 링 $Q$ 에 속한다.
• $(\operatorname{ch}_q V)^{-1} Z(v,q)$ 로 정의된 추적 사상 $t: V \to Q$ 는 선형 전성사상이며, 부분공간 $W \subset V$ 를 통해 명시적인 단면이 구성된다.
• 질량 $d$ 의 격자 VOA $V_L$ 에 대해선 모든 추적 함수가 $f(q)/\eta(q)^d$ 형태이며, $f(q)$ 는 $M(N,\epsilon)$ 의 모듈러 형식이다.
• 차수 $k$ 의 구면 조화 다항식은 $V_L$ 의 주요 장과 대응되며, 그 추적 함수는 $\theta_L(P,\tau)/\eta(\tau)^d$ 이다. 여기서 $\theta_L(P,\tau)$ 는 $P$ 로 뒤틀린 제타 함수이다.
• 모든 1차수의 캐스프 형식은 $V_{E_8}$ 에서 추적 함수로 나타나며, 특히 월드스부르거의 결과와 정리 3을 통해 $f(q)/\eta(q)^8$ 형태로 어떤 주요 장 $v$ 에 의해 실현됨을 보였다.
• 영점 모드 이외의 비영점 모드 단항식 $h_0(n_1)\cdots h_0(n_r)$ 에 대해 $\sum n_i = 0$ 이고 $r \geq 2$ 라면 $M(1)$ 에서의 추적 값은 0이 되며, 이는 추적에 영점 모드 항만 기여함을 보장한다.