[논문 리뷰] Quasi-Monte Carlo methods for the Heston model

Jan Baldeaux, Dale Roberts|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 15.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 헤스톤 및 SVJ 확률적 변동성 모형 하에서 경로에 의존하는 파생상품을 정가하기 위한 새로운 준몬테카를르(QMC) 프레임워크를 제시한다. 브로드리-카야 방법을 통한 정확한 시뮬레이션과 맞춤형 브리지 구성 기법을 활용하여 QMC의 효율성을 향상시킨다. 주요 기여는 QMC가 표준 몬테카를르보다 뛰어나게 성능을 발휘함을 입증한 것으로, 특히 맞춤형 브리지 기반으로 분산을 조기에 QMC 차원에 할당할 경우에 더욱 두드러진다.

ABSTRACT

In this paper, we discuss the application of quasi-Monte Carlo methods to the Heston model. We base our algorithms on the Broadie-Kaya algorithm, an exact simulation scheme for the Heston model. As the joint transition densities are not available in closed-form, the Linear Transformation method due to Imai and Tan, a popular and widely applicable method to improve the effectiveness of quasi-Monte Carlo methods, cannot be employed in the context of path-dependent options when the underlying price process follows the Heston model. Consequently, we tailor quasi-Monte Carlo methods directly to the Heston model. The contributions of the paper are threefold: We firstly show how to apply quasi-Monte Carlo methods in the context of the Heston model and the SVJ model, secondly that quasi-Monte Carlo methods improve on Monte Carlo methods, and thirdly how to improve the effectiveness of quasi-Monte Carlo methods by using bridge constructions tailored to the Heston and SVJ models. Finally, we provide some extensions for computing greeks, barrier options, multidimensional and multi-asset pricing, and the 3/2 model.

연구 동기 및 목표

• 공통 전이 밀도가 존재하지 않아 표준 QMC 기법인 선형 변환 방법을 적용할 수 없는 헤스톤 및 SVJ 모형에 대해 실용적인 QMC 프레임워크를 개발하는 것.
• 확률적 변동성 하에서 경로에 의존하는 파생상품 정가에 있어 QMC 방법이 전통적인 몬테카를르보다 뛰어나게 성능을 발휘함을 입증하는 것.
• 모델에 특화된 브리지 구성 기법을 설계하여 QMC의 효율성을 향상시키고, 분산을 조기에 QMC 차원에 할당하는 것.
• QMC 프레임워크를 그레인지, 바리어 옵션, 다자산 모형, 및 $3/2$ 모형으로 확장하는 것.

제안 방법

• 헤스톤 및 SVJ 모형의 표본 경로를 생성하기 위해 브로드리-카야 정확한 시뮬레이션 기법을 사용하여 이산화 오차를 방지한다.
• 경로에 의존하는 지ayoff로 인해 발생하는 고차원 적분에서 QMC 수렴성을 향상시키기 위해 오웬 스케일링을 적용한 소볼 점 집합을 적용한다.
• 분산 과정에 대한 맞춤형 브리지 구성 기법(참고 문헌 [40, 51])과 시간에 따라 변하는 변동성을 갖는 브라운 운동에 대한 기법(참고 문헌 [24])을 개발하여 분산을 조기에 QMC 차원에 할당할 수 있도록 한다.
• 점프 과정에 대한 브리지 샘플링 기법(참고 문헌 [5])을 변형하여 SVJ 모형을 처리함으로써 경로의 연속성을 확보하고 QMC 성능을 향상시킨다.
• 다중 자산 모형으로의 확장을 위해 비중앙 $\chi^2$ 분포와 조건부 적분을 활용하여 상관관계가 있는 변동성과 자산 가격을 동시에 시뮬레이션한다.
• 변동성 과정을 제곱근 과정으로 변환하고 라플라스 변환 기반 샘플링을 사용하여 통합 분산을 정확하게 추정함으로써 $3/2$ 모형에 대해 유사한 브리지 기반 정확한 시뮬레이션을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공통 전이 밀도가 존재하지 않아 선형 변환 방법을 적용할 수 없는 헤스톤 모형에 대해 준몬테카를르 방법을 효과적으로 적용할 수 있는가?
• RQ2 헤스톤 및 SVJ 모형에 대해 분산을 조기에 QMC 차원에 할당함으로써 QMC의 효율성을 향상시키기 위한 브리지 구성 기법을 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ3 확률적 변동성 모형 하에서 경로에 의존하는 옵션 정가에 있어 QMC가 표준 몬테카를르보다 얼마나 뛰어나게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 QMC 프레임워크는 그레인지, 바리어 옵션, 다자산 파생상품, 및 $3/2$ 모형으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 소볼 수열과 오웬 스케일링을 사용한 QMC 방법은 헤스톤 및 SVJ 모형 하에서 경로에 의존하는 파생상품 정가에 있어 표준 몬테카를르보다 일관되게 뛰어난 성능을 발휘한다.
• 모델에 특화된 브리지 구성 기법을 사용함으로써 QMC 수렴성이 크게 향상되며, 이는 QMC 점 집합의 첫 번째 몇 차원에 더 많은 분산을 할당함으로써 달성된다.
• 변동성 과정을 제곱근 과정으로 변환하고 라플라스 변환 기반 정확한 시뮬레이션을 사용함으로써 $3/2$ 모형에 대한 프레임워크가 성공적으로 적용되었다.
• 브리지 샘플링 접근법을 확장하여 그레인지의 정확한 계산과 바리어 옵션의 정가가 가능해졌다.
• 피eller 조건이 위반되더라도 이 방법은 안정적으로 작동하여 실제 시장 응용에 실용적임을 입증했다.
• 다중 자산 모형으로의 확장은 조건부 분포와 상관관계가 있는 브라운 브리지 기반으로 상관관계가 있는 변동성과 자산 가격을 동시에 시뮬레이션함으로써 달성되었다.