[논문 리뷰] Quasi-morphisms on Free Groups

Pascal Rolli|ArXiv.org|2009. 11. 23.

Finite Group Theory Research참고 문헌 5인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 자유군의 약어 표현 인자화에서 지수에 따라 인덱싱된 유계 수열을 사용하여 자유군 위에 새로운 일족의 준형사상을 구성한다. 이를 통해 두 개 이상의 생성자를 가진 자유군의 두 번째 유계 코homology 공간이 무한차원임을 더 단순한 증명을 제공한다. 또한 이 구성은 소수군이 없는 군, 특히 양측 불변 거리수를 갖는 컴acts Lie 군을 포함한 군으로 일반화되며, $\varepsilon$-소수군 추론을 통해 비자명성을 증명한다.

ABSTRACT

Let F be the free group over a set of two or more generators. R. Brooks constructed an infinite family of quasi-morphisms on F such that an infinite subfamily gives rise to independent classes in the second bounded cohomology of F, which proves that this space is infinite dimensional. We give a simpler proof of this fact using a different type of quasi-morphisms. After computing the Gromov norm of the corresponding bounded classes, we generalize our example to obtain quasi-morphisms on free products, as well as quasi-morphisms into groups without small subgroups, also known as epsilon-representations.

연구 동기 및 목표

• 두 개 이상의 생성자를 가진 자유군의 두 번째 유계 코homology 공간이 무한차원임을 더 단순한 증명을 제공하는 것.
• 자유군 위에 새로운 준형사상의 클래스를 구성하는 것. 이는 약어 표현 인자화에서 지수에 따라 인덱싱된 실수 유계 수열을 사용한다.
• 소수군이 없는 군, 예를 들어 양측 불변 거리수를 갖는 컴팩트 리 군을 포함한 군으로 이 구성의 일반화를 시도하는 것.
• 수열의 노름이 충분히 작을 경우, 준형사상이 균일하게 호모모르피즘에 의해 근사될 수 없음을 보여 비자명성을 확립하는 것.

제안 방법

• 각 군 원소를 유일한 최단 인자화로 분해하여 생성자의 거듭제곱에 유계 수열 $\sigma \in \ell^\infty$의 값을 할당하고, 이를 덧셈적으로 확장함으로써 $g_{\sigma} : F \to \mathbb{R}$를 정의한다.
• 요소 인자화에서의 상쇄 작용과 $\mathbb{Z}$로의 $\sigma$의 홀수 확장을 사용하여, $g_{\sigma}$의 결함 $\sup |g_{\sigma}(x) + g_{\sigma}(y) - g_{\sigma}(xy)|$를 유계화함으로써 $g_{\sigma}$가 준형사상임을 증명한다.
• Gromov 노름을 계산하여 관련된 유계 코homology 클래스의 크기를 분석함으로써 코homology 공간의 크기를 분석한다.
• 생성자 인자화에 대한 동일한 덧셈 확장을 사용하여, 소수군이 없고 양측 불변 거리수를 갖는 군 $G$에 값이 있는 $g_{\sigma} : F \to G$로의 일반화를 수행한다.
• 만약 $\|\sigma\|_\infty < \varepsilon/2$ 이면, $g_{\sigma}$는 어떤 호모모르피즘 $\varphi : F \to G$에도 균일하게 가까워질 수 없음을 보여 비자명성을 증명한다. 이는 否정적으로 이미지가 $\varepsilon$-소수군을 생성하기 때문이다.
• 거리의 양측 불변성을 이용하여 곱에서의 거리를 제어하고, 결함이 유계로 유지됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유군 위에 비자명한 준형사상의 더 단순한 구성이 가능할까? 이를 통해 $\mathrm{H}^2_{\mathrm{b}}(F,\mathbb{R})$의 무한차원성을 증명할 수 있을까?
• RQ2 소수군이 없는 군으로의 준형사상이 비자명해지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 유계 코homology 클래스의 Gromov 노름은 수열 $\sigma$와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 자유군 위의 준형사상 구성은 $\mathbb{R}$ 이외의 타겟 군으로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 양측 불변 거리수는 일반화된 설정에서 결함의 유계성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 자유군 $F$에서 $|S| \geq 2$일 때 구성된 준형사상 $g_{\sigma}$는 유계 결함을 가지며, 이는 준형사상임을 증명한다.
• 유계 수열 $\sigma \in \ell^\infty$의 공간은 무한차원의 준형사상 가족을 제공하며, 이에 대응하는 $\mathrm{H}^2_{\mathrm{b}}(F,\mathbb{R})$ 내의 클래스들은 선형 독립이다.
• $g_{\sigma}$에 관련된 유계 코homology 클래스의 Gromov 노름은 유계이자 계산 가능하며, 이는 클래스의 비자명성을 뒷받침한다.
• 이 구성은 소수군이 없고 양측 불변 거리수를 갖는 군 $G$로 값이 있는 $g_{\sigma} : F \to G$로 일반화된다.
• $\|\sigma\|_\infty < \varepsilon/2$ 이면, $g_{\sigma}$는 어떤 호모모르피즘 $\varphi : F \to G$에도 균일하게 가까워질 수 없으며, 이는 준형사상의 비자명성을 증명한다.
• $G = \mathbb{R}$인 경우, 이 결과는 Brooks 유형 준형사상의 비자명성을 회복하며, 이는 이전 연구와의 일致를 확인한다.