[논문 리뷰] Quasi-Optimal Error Estimates for the Incompressible Navier-Stokes Problem Discretized by Finite Element Methods and Pressure-Correction Projection with Velocity Stabilization

Daniel Arndt, Helene Dallmann외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 03.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 체류-스테이블 유한요소를 사용하여 이완성 나비에-스토크스 방정식을 이산화한 경우, 그레드-디브 및 국소 투영 안정화를 조합한, BDF2 기반 압력보정 투영 방법을 제안한다. 분석은 공간과 시간에서 준최적 수렴률을 확립하며, 일부 추정치는 레이놀즈 수에 대해 강건하여, 강건성에 있어 그레드-디브 안정화의 핵심적 역할을 부각시킨다.

ABSTRACT

We consider error estimates for the fully discretized instationary Navier-Stokes problem. For the spatial approximation we use conforming inf-sup stable finite element methods in conjunction with grad-div and local projection stabilization acting on the streamline derivative. For the temporal discretization a pressure-correction projection algorithm based on BDF2 is used. We can show quasi-optimal rates of convergence with respect to time and spatial discretization for all considered error measures. Some of the error estimates are quasi-robust with respect to the Reynolds number.

연구 동기 및 목표

• 속도 안정화를 적용한 유한요소법을 사용하여 완전 이산화된 비정상 나비에-스토크스 문제에 대한 오차 추정치를 유도하기.
• BDF2 시간 이산화 기반 압력보정 투영 방법의 수렴 행동을 분석하기.
• 점성 계수 ν 및 레이놀즈 수에 대한 오차 추정치의 강건성 조사하기.
• 준강건 수렴을 달성하기 위해 그레드-디브 안정화와 국소 투영 안정화의 상대적 중요도 규명하기.

제안 방법

• 공간 이산화에서는 그레드-디브 안정화 및 대류 항에 대한 국소 투영 안정화(LPS)를 적용한 체류-스테이블 유한요소를 사용한다.
• 시간 이산화에서는 속도와 압력 해를 분리하기 위해 2차 BDF2 기반의 증분 압력보정 투영 방법을 사용한다.
• 에너지 추정치와 이산 그론발레 부등식을 조합하여 비선형 대류 항과 안정화 기여도를 제어한다.
• 안정화 항은 특히 대류 지배 흐름에서 임의의 진동을 억제하고 안정성을 향상시키기 위해 설계된다.
• 속도 및 압력에 대한 오차 방정식을 유도하며, 소볼레프 노름을 사용하여 일致성 항과 안정화 항을 정확히 추정한다.
• 정확한 해가 u ∈ L∞(t₀,T;W¹,∞(Ω))d 를 만족한다고 가정하여 이론적 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BDF2와 압력보정 투영을 사용할 때, 완전 이산화된 나비에-스토크스 문제에 대해 준최적 수렴률을 확립할 수 있는가?
• RQ2 그레드-디브 안정화는 점성 계수 ν에 대한 오차 추정치의 강건성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 고레이놀즈 수 조건에서 국소 투영 안정화가 오차 통제에 얼마나 기여하는가?
• RQ4 오차 추정치는 준강건한가, 즉 상수에 1/ν 의 의존성이 없는가?
• RQ5 LPS와 그레드-디브 안정화 중 어느 것이 최적 수렴을 달성하는 데 더 큰 영향을 미치는가?

주요 결과

• 표준 정규성 가정 하에 공간과 시간에서 속도 및 압력 오차에 대해 준최적 수렴률이 확립된다.
• 오차 추정치는 레이놀즈 수에 대해 준강건하며, ν → 0 일 때 상수의 열악화가 발생하지 않는다.
• 그레드-디브 안정화가 준강건성을 달성하는 데 필수적이다; 이를 생략할 경우 오차 경계는 1/ν 에 의존한다.
• 국소 투영 안정화(LPS)는 소산 항을 제어하는 데 기여하지만, 준강건성에는 필수적이지 않다.
• 분석은 BDF2 기반 압력보정 방법이 시간에 대해 2차 정확도를 달성함을 확인하였으며, 시간 이산화 항으로 인해 추정치가 완전히 준강건하지는 않다.
• 수치 실험은 이론적 수렴률을 검증하고 LPS가 하위격자 모델로서의 안정화 효과를 보여준다.