[논문 리뷰] Quasi-optimal nonconforming methods for symmetric elliptic problems. III -- DG and other interior penalty methods

Andreas Veeser, Pietro Zanotti|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 10.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 계산적으로 실현 가능한 $H^1_0$-스무싱 연산자를 통해 우측항 이산화를 수정하여 대칭 타원 문제에 대한 준최적 비일관 유한요소 방법을 제안한다. 새로운 변형들은 모양 정규 메쉬에서 일관된 유계 준최적 상수를 갖으며, 페널티 매개수의 증가에 따라 상수가 1로 수렴함으로써 표준 내부 페널티 방법보다 안정성과 일관성을 향상시킨다.

ABSTRACT

We devise new variants of the following nonconforming finite element methods: DG methods of fixed arbitrary order for the Poisson problem, the Crouzeix-Raviart interior penalty method for linear elasticity, and the quadratic $C^0$ interior penalty method for the biharmonic problem. Each variant differs from the original method only in the discretization of the right-hand side. Before applying the load functional, a linear operator transforms nonconforming discrete test functions into conforming functions such that stability and consistency are improved. The new variants are thus quasi-optimal with respect to an extension of the energy norm. Furthermore, their quasi-optimality constants are uniformly bounded for shape regular meshes and tend to $1$ as the penalty parameter increases.

연구 동기 및 목표

• 대칭 타원 문제에 대한 표준 대칭 내부 페널티(SIP) 및 기타 비일관 방법에서의 완전한 안정성과 준최적성의 부족을 해결하기 위해.
• 스무싱 연산자를 통해 우측항 이산화를 수정하여 비일관 갈레르킨 및 $C^0$ 내부 페널티 방법의 일관성과 안정성을 향상시키기 위해.
• 비일관 이산 공간에 대해서도 확장된 에너지 노름에 대해 준최적이 되는 방법을 보장하기 위해.
• 면 평균을 유지하면서 계산적으로 실현 가능한 $H^1_0$-스무싱 연산자를 구성하여 일관성 향상시키기 위해.
• 형상 정규 메쉬 전역에서 일관된 유계 준최적 상수를 확보하며, 페널티 매개수의 증가에 따라 상수가 1로 수렴하도록 하기 위해.

제안 방법

• 불연속(piecewise) 약선형 함수에서 $H^1_0(\Omega)$ 함수로 사상하는 새로운 스무싱 연산자 $E: S^{0}_1 \to H^1_0(\Omega)$를 도입하며, 이는 면 평균을 유지한다.
• 일관성과 안정성을 향상시키기 위해, $\int_\Omega f\sigma$를 $\langle f, E\sigma \rangle$로 대체함으로써 이산 변분 형식을 수정한다.
• HCT 유형의 평균화 연산자와 고차 다항식 버블 함수를 활용하여 스무싱 연산자 $E$를 구성하며, 메쉬의 형상 정규성에 따라 유계 연산자 노름을 확보한다.
• 비편평 문제에 대한 새로운 이차형식 $b_{\mathrm{BS}}$를 정의하여, 두 번째 법선 도함수의 점프와 페널티 항을 사용해 강제성과 대칭성을 보장한다.
• 이전 연구에서 유도된 추상 준최적성 이론을 적용하여 확장된 에너지 노름 $|\cdot|_{1;\eta}$ 또는 $|\cdot|_{2;\eta}$에서 수렴 한계를 확립한다.
• 준최적 상수가 $\sqrt{1 + C_{\gamma_{\mathcal{M}}} \big(\alpha(\eta_* / \eta) \eta\big)^{-1}}$ 이하로 유계임을 증명하며, 이는 $\eta \to \infty$일 때 1로 수렴한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 타원 문제에 대한 표준 내부 페널티 방법은 우측항 이산화를 수정함으로써 준최적이 될 수 있는가?
• RQ2 계산적으로 실현 가능한 스무싱 연산자를 어떻게 구성하여 비일관 방법의 일관성과 안정성을 향상시킬 수 있는가, 동시에 계산 비용을 증가시키지 않고서도?
• RQ3 준최적 상수는 페널티 매개수와 메쉬 형상 정규성에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 제안된 프레임워크는 고차수 방법, 예를 들어 비편평 문제에 대한 $C^0$ 내부 페널티 방법으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 수정된 방법은 오차 추정에서 보완 항 $\mathrm{AG}(u-s)$가 필요 없이 최적 수렴률을 달성하는가?

주요 결과

• 비편평 문제에 대한 제안된 방법 $M_{\mathrm{C0}}$는 상수 $\sqrt{1 + C_{\gamma_{\mathcal{M}}} \big(\alpha(\eta_* / \eta) \eta\big)^{-1}}$ 이하의 유계 준최적 상수를 갖는 $|\cdot|_{2;\eta}$-준최적이며.
• 페널티 매개수 $\eta$의 증가에 따라 준최적 상수가 1로 수렴함으로써 조건이 향상되고 수렴 거동이 개선됨을 나타낸다.
• 스무싱 연산자 $E_{\mathrm{C0}}$는 계산적으로 실현 가능하며, 내부 면에서 $\left\{\!\!\left\{ \nabla E_{\mathrm{C0}}\sigma \right\}\!\!\right\} = 0$를 보장하여 일관성을 유지한다.
• 보완 항 $\mathrm{AG}(u-s)$가 필요 없이 최적 수렴률을 달성하며, 이는 일반적으로 $H^1_0$ 해에서 유계가 아님을 의미한다.
• 시리즈의 첫 번째 부분에서 도출된 추상 이론이 메쉬 정규성과 페널티 매개수에 대한 약한 가정 하에 준최적성을 증명하는 데 성공적으로 적용되었다.
• 고차수 스무싱 연산자를 구성함으로써 이 프레임워크는 $p \geq 3$ $C^0$ 내부 페널티 방법과 같은 고차수 방법으로도 확장 가능하다.