[논문 리뷰] Quasi-particles models for the representations of Lie algebras and geometry of flag manifold

Boris Feigin, A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|1993. 08. 17.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 6인용 수 99

한 줄 요약

이 논문은 제약된 대칭 거듭제곱과 일반화된 세르 관계를 사용하여 아핀 리 대수의 진공 표현의 주요 부분공간의 쌍대에 대한 기능적 모델을 구축한다. 또한 극을 가진 함수에 대한 새로운 호프 대수적 구조를 통해 sl₃의 특성 공식을 유도하며, 준입자 유사 조합론을 통해 와일 특성 공식의 새로운 실현을 제공한다.

ABSTRACT

We give a new interpretation and proof of the "quasi-particle" type character formulas for integrable representations of the simply-laced affine Kac-Moody algebras through a new "semi-infinite" construction of such representations. We compare formulas of this kind to other formulas obtained using the geometry of the corresponding flag manifold and in particular give a new proof to the Gordon type identities.

연구 동기 및 목표

• 아핀 리 대수의 진공 표현의 주요 부분공간의 쌍대에 대해, 미분형식의 제약된 대칭 대수를 사용하여 기능적 모델을 개발한다.
• 다양한 극 조건을 가진 다중계급 함수를 도입하여, 특히 sl₃에 대해 고계수 리 대수로 준입자 접근법을 일반화한다.
• 반제한 대칭 거듭제곱 구조를 사용하여 bsl₃의 임의의 최고중량 표현의 특성 공식을 유도한다.
• 코알gebra 및 호프 대수 기법을 통해 진공 모듈의 소거 아이디얼과 쌍대 공간의 구조 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 대칭 함수에 극을 가진 조합 제약 조건을 적용하여, 고계수 아핀 리 대수의 특성 공식의 준입자 실현을 확장한다.

제안 방법

• 선형에서 값이 g*인 1형식의 확장된 대칭 대수를 사용하여, 극을 가진 대칭 다항식의 다중계급 공간의 몫으로 주요 부분공간 Wk의 쌍대 공간을 구성한다.
• sl₂에 대해 제약된 대칭 거듭제곱 S*(k+1)T¹을 정의하고, 루트 공간에 대응하는 변수 x_i와 y_j를 가진 이변수 기능 공간을 사용하여 sl₃로 일반화한다.
• 단순 극을 가진 유리형 함수에 대한 기능의 호프 대수 A = ⊕A_{m,n}을 정의하며, (x_i - y_j)⁻¹의 τ₊ 및 τ₋ 분해를 통한 로렌츠 전개를 사용한다.
• x₁=x₂=y₁ 또는 y₁=y₂=x₁일 때 다항식 부분 f 가 0이 되도록 요구함으로써 세르 유사 관계를 도입하고, eU의 부분코알gebra U ⊂ eU를 정의한다.
• 쌍대 공간 U*를 사용하여 U(ĝ⁻)를 몫으로 실현하고, Wk*가 x₁=...=x_{k+1} 및 y₁=...=y_{k+1}에서 추가로 0이 되는 조건을 만족하는 U*의 부분공간임을 식별한다.
• 중첩 분할에 대한 합으로 Wk의 특성을 유도하며, q-포흐하머 분모와 N_i, M_j 및 ∑_{i<j} M_i N_j 항을 포함한 단항식 계수를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아핀 리 대수의 주요 부분공간 Wk의 쌍대는 어떤 식으로 극 조건이 부여된 대칭 유리형 형식의 기능 공간으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 단순 극을 가진 유리형 함수에 대한 기능의 호프 대수의 구조는 무엇이며, 아핀 리 대수의 음의 부분의 보편적 임베딩 대수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 k+1개의 변수가 일치할 때의 특성에 의해, 수준 k의 진공 표현의 소거 아이디얼은 어떻게 특성화되는가?
• RQ4 제약된 대칭 거듭제곱과 조합 제약 조건을 사용하여 준입자 유사 모델에서 bsl₃의 기약 진공 표현의 특성을 도출할 수 있는가?
• RQ5 반무한 제약 대칭 거듭제곱 구조와 통합 최고중량 모듈의 표준 특성 공식 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 주요 부분공간 Wk의 쌍대 공간 (Wk)∗는 x₁…xₘy₁…yₙ과 극 (x_i - y_j)⁻¹을 가지며, x₁=…=x_{k+1} 또는 y₁=…=y_{k+1}일 때 0이 되는 대칭 함수 f(x₁,…,xₘ;y₁,…,yₙ)의 공간 M = ⊕M_{m,n}과 동형이다.
• sl₃에 대한 주요 부분공간 Wk의 특성은 ch Wk(q,z₁,z₂) = ∑_{N₁≤…≤Nₖ, M₁≤…≤Mₖ} q^{∑N_i² + ∑M_j² - ∑_{i<j} M_i N_j} z₁^{∑N_i} z₂^{∑M_j} / [(q)_{N₂−N₁}⋯(q)_{Nₖ−Nₖ₋₁} (q)_{M₂−M₁}⋯(q)_{Mₖ−Mₖ₋₁}] 로 주어진다.
• z₁ = z₂ = 1일 때 특성은 4.3.4(c)절의 Ψ_{A₂⊗B⁻¹_k}로 간소화되며, Lepowsky–Primc 및 Kedem–Mickelsson의 기존 공식과 일치한다.
• 호프 대수 A = ⊕A_{m,n}은 극을 가진 유리형 함수의 로렌츠 계수에서 유도되며, 곱셈은 코곱과 τ₊/τ₋ 전개를 통해 정의된다.
• x₁=x₂=y₁ 또는 y₁=y₂=x₁일 때 f 가 0이 되는 조건을 만족하는 eU의 부분코알gebra U ⊂ eU는 U(ĝ⁻)와 동형인 쌍대 공간을 유도하며, 그 몫은 Wk*를 실현한다.
• 기약 표현 V_{(0,0,k)}의 전체 특성은 Wk 특성에서 (q)∞²로 나누어, 중첩 분할과 q-급수를 포함하는 새로운 표현으로 얻어진다.