[논문 리뷰] Quasi-Periodic Schrödinger Cocycles with Positive Lyapunov Exponent are not Open in the Smooth Topology

Yiqian Wang, Jiangong You|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 22.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 44인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $1 \leq l \leq \infty$ 에서 $\mathcal{C}^l$ 위상에서 양의 리아프누프 지수를 가진 준주기적 슈뢰딩거 코시클의 집합이 열려 있지 않음을, 리아프누프 지수가 0인 코시클에 의해 근사가 가능한 예를 구성하여 보여준다. 이 결과는 분석적 위상에서는 이러한 집합이 열려 있고 조밀하다는 것으로 알려져 있어, 스무스 변형과 분석적 변형에 대한 양의 리아프누프 지수의 안정성에 근본적인 차이를 드러낸다.

ABSTRACT

One knows that the set of quasi-periodic Schrödinger cocycles with positive Lyapunov exponent is open and dense in the analytic topology. In this paper, we construct cocycles with positive Lyapunov exponent which can be approximated by ones with zero Lyapunov exponent in the space of ${\cal C}^ l$ ($1 \le l\le \infty$) smooth quasi-periodic cocycles. As a consequence, the set of quasi-periodic Schrödinger cocycles with positive Lyapunov exponent is not ${\cal C}^ l$ open.

연구 동기 및 목표

• 스무스 준주기적 슈뢰딩거 코시클에서 양의 리아프누프 지수의 위상적 안정성을 조사한다.
• $1 \leq l \leq \infty$ 에서 $\mathcal{C}^l$ 위상에서 양의 리아프누프 지수 집합이 열려 있는지 여부라는 열린 문제를 해결한다.
• $\mathcal{C}^l$ 준주기적 코시클에서 양의 리아프누프 지수를 가진 명시적 예를 구성한다. 이들은 리아프누프 지수가 0인 코시클에 의해 근사가 가능하다.
• 리아프누프 지수 안정성의 맥락에서 분석적 위상과 스무스 위상 간의 대비를 명확히 한다.

제안 방법

• 저자들은 $SL(2,\mathbb{R})$-코시클의 구조에 기반한 펌프팅 접근법을 사용하여, 양의 리아프누프 지수를 가진 $\mathcal{C}^l$ 준주기적 슈뢰딩거 코시클의 가족을 구성한다.
• 전달 행렬과 각도 매개변수 $\phi$ 및 $\theta$를 포함한 재귀적 구성 방법을 활용하여 행렬 노름의 성장과 리아프누프 지수의 행동을 제어한다.
• 행렬 노름의 도함수와 각도 매개변수의 도함수 추정에 대해 애벌런치 원리와 하모닉성 기법에서 유도된 경계를 사용하여 증명한다.
• 주요 추정은 $\|BA\|$의 $i$-번째 도함수에 대해 $\|A\|$, $\|B\|$, $\phi$, $\theta$ 에 대한 추정이며, 이는 $d_k^{-i}$ 와 행렬 노름의 역수로 제어되는 감쇠를 보인다.
• 반복 단계에서의 반복 시간과 반복 횟수를 균일하게 제어하기 위해 $\omega$ 가 유계 타입임을 이용한다.
• 구간 $I_k$ 에 대해 반복적으로 적용하여 각도 함수 $\phi_{k+1,1}$ 과 $\psi_{k+1,1}$ 의 도함수에 대한 균일한 경계를 확립하고, 최종적으로 레마 2.1에서 도함수 추정을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $1 \leq l \leq \infty$ 에서 $\mathcal{C}^l$ 준주기적 슈뢰딩거 코시클에서 양의 리아프누프 지수를 가진 집합이 $\mathcal{C}^l$ 위상에서 열려 있는가?
• RQ2 $\mathcal{C}^l$ 위상에서 리아프누프 지수가 양인 코시클이 리아프누프 지수가 0인 코시클에 의해 근사될 수 있는가?
• RQ3 준주기적 슈뢰딩거 코시클의 맥락에서 분석적 위상과 스무스 위상 간의 리아프누프 지수 행동은 어떻게 다를까?
• RQ4 주파수 $\omega$ 의 디오판틴 또는 유계 타입 조건이 이러한 근사 수열의 구성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 심지어 밀도가 보장되더라도 스무스 설정에서 양의 리아프누프 지수 집합의 열림에 내재된 장애 요소가 존재하는가?

주요 결과

• $1 \leq l \leq \infty$ 에서 $\mathcal{C}^l$ 준주기적 슈뢰딩거 코시클에서 양의 리아프누프 지수를 가진 집합은 어떤 경우에도 열려 있지 않으며, 이는 분석적 경우와는 정반대이다.
• 리아프누프 지수가 양이지만 $\mathcal{C}^l$ 위상에서 리아프누프 지수가 0인 코시클에 의해 임의로 가까이 근사가 가능한 명시적 예가 구성된다.
• 주요 장애 요소는 스무스 범주에서 각도 함수 $\phi$ 와 $\psi$ 의 도함수 추정에 대한 균일한 제어가 실패할 때 발생하며, 이는 리아프누프 지수가 양일지라도 그렇다.
• 증명은 $\left| \frac{d^i}{dx^i} (\phi_{A,r^{+}_{k+1}}(x) - \phi_{A,r^{+}_{k}}(x)) \right| \leq C(i) \cdot |\theta_k - \pi/2|^{-i} \cdot \|A^{r^{+}_{k}}\|^{-2}$ 를 보여주며, 이는 반복 과정에서 느리게 감쇠된다.
• 구성은 $\omega$ 가 유계 타입임을 이용하여 반복 횟수 $s(x)$ 가 균일하게 유계임을 보장함으로써 재귀적 도함수 추정이 닫히도록 한다.
• 결과는 스무스 위상에서 리아프누프 지수의 연속성과 열림이 분석적 설정보다 본질적으로 더 민감하다는 것을 보여준다.