[논문 리뷰] Quasi-plurisubharmonic envelopes 2: Bounds on Monge-Amp\`ere volumes

Vincent Guedj, Chinh H. Lu|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 08.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 39인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 참조 형식이 닫혀 있지 않은 경우, 컴acts Hermitian 다양체 위에서 열화된 복소 Monge-Ampère 방정식에 대해, quasi-plurisubharmonic 봉우리들을 이용하여 Monge-Ampère 체적의 경계를 확립한다. 이는 Monge-Ampère 질량의 상한이 유한함(v+(ωX) < ∞)임이 bimeromorphic 사상에 대해 불변임을 증명하고, 비어 있지 않은 계열에서 Kähler 전류의 존재와 동치임을 보이며, Grauert-Riemenschneider 추측의 초월적 형태를 해결하고, Demailly-Pàun 및 Boucksom-Demailly-Pàun-Peternell 추측을 K"ahler 설정을 초월하여 일반화한다.

ABSTRACT

In \cite{GL21a} we have developed a new approach to $L^{\infty}$-a priori estimates for degenerate complex Monge-Amp\`ere equations, when the reference form is closed. This simplifying assumption was used to ensure the constancy of the volumes of Monge-Amp\`ere measures. We study here the way these volumes stay away from zero and infinity when the reference form is no longer closed. We establish a transcendental version of the Grauert-Riemenschneider conjecture, partially answering conjectures of Demailly-P\u{a}un \cite{DP04} and Boucksom-Demailly-P\u{a}un-Peternell \cite{BDPP13}. Our approach relies on a fine use of quasi-plurisubharmonic envelopes. The results obtained here will be used in \cite{GL21b} for solving degenerate complex Monge-Amp\`ere equations on compact Hermitian varieties.

연구 동기 및 목표

• 참조 형식이 닫혀 있지 않은 경우, 컴acts Hermitian 다양체 위에서 열화된 복소 Monge-Ampère 방정식에 대해 Monge-Ampère 체적의 균일한 경계를 확립하는 것.
• K"ahler 다양체를 초월하여, Grauert-Riemenschneider 추측의 초월적 형태를 해결하는 것.
• v+(ωX)의 유한성이 bimeromorphic 변환에 대해 불변임을 증명하고, 비어 있지 않은 계열에서 K"ahler 전류 존재성과 동치임을 보이는 것.
• Demailly-Pàun 및 Boucksom-Demailly-Pàun-Peternell 추측을 비닫혀 있는 형식과 비-K"ahler 설정으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 유계 ω-plurisubharmonic 함수들 중에서 상한이 h인 함수들의 상한으로서 quasi-plurisubharmonic 봉우리 Pω(h)를 도입하고 연구한다.
• 봉우리 구성 기법을 통해 Monge-Ampère 질량을 제어하고, (ω + ddcPω(h))n 이 접촉 집합 {Pω(h) = h} 위에 놓여 있음을 증명한다.
• 수정된 비교 원리와 Hermitian 형식을 포함하는 새로운 부등식(Lemma 4.13)을 사용하여 체적 추정을 유도한다.
• Gauduchon 메트릭과 정규화를 사용하여 비닫혀 있는 형식의 ddc-편미분을 고려한 편미분 기법을 적용하여 체적 적분을 제어한다.
• ε → 0으로의 극한으로 문제를 축소하고, Stokes 정리와 v+(ωX)의 균일한 유한성으로 오차 항을 제어한다.
• 봉우리 기법과 Fujiki 계열 특성화를 이용하여 v+(ωX) < ∞ 및 v−(ωX) > 0의 bimeromorphic 불변성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 참조 형식 ωX가 닫혀 있지 않은 경우, Monge-Ampère 질량의 상한 v+(ωX)가 유한해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 v+(ωX) < ∞ 조건은 기저 다양체의 bimeromorphic 변환에 대해 불변인가?
• RQ3 v+(ωX) < ∞ 조건은 αn > 0인 비어 있지 않은 계열 α에서 K"ahler 전류 존재를 의미하는가?
• RQ4 Demailly-Pàun 및 Boucksom-Demailly-Pàun-Peternell 추측은 비닫혀 있는 형식과 비-K"ahler 다양체로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 Monge-Ampère 질량 v+(ωX)와 비어 있지 않은 (1,1)-형식의 크기 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• v+(ωX) < ∞ 조건은 Hermitian 메트릭 ωX의 선택과 무관하며, bimeromorphic 사상에 대해 불변이다.
• v−(ωX) > 0 조건 역시 bimeromorphic 사상에 대해 불변이며, 형식 ωX의 균일하게 붕괴하지 않는 성질과 동치이다.
• 차원 n ≤ 2인 임의의 컴acts 복소 다양체이거나, 복소수 폐형식을 가진 3차원 다양체의 경우, v+(ωX) < ∞가 성립한다.
• v+(ωX) < ∞는 비어 있지 않은 계열 α에서 K"ahler 전류 존재와 동치이며, 이는 Grauert-Riemenschneider 추측의 초월적 형태를 해결한다.
• v+(ωX) < ∞ 조건은 X가 Fujiki 계열에 속한다는 것을 의미하며, 반대로 X가 Fujiki 계열에 속하면 v+(ωX) < ∞이다.
• Demailly-Pàun 및 Boucksom-Demailly-Pàun-Peternell 추측의 일반화된 형태가 성립한다: α − β가 K"ahler 전류를 포함하는 것은, αn > nαn−1 · β 조건 하에서 v+(ωX) < ∞와 동치이다.