[논문 리뷰] Quasi-Polynomial Time Approximation Schemes for Packing and Covering Problems in Planar Graphs

Michał Pilipczuk, Erik Jan van Leeuwen외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Computational Geometry and Mesh Generation인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 평면 그래프에서 두 가지 기본 최적화 문제인 최대 무게를 가진 물체의 독립 집합(MWISO)과 최소 무게를 가진 거리 집합 총망(MWDSC)에 대해 처음으로 준다항 시간 근사법(QPTAS)을 제시한다. 그래프 분리자 기반의 재귀적 분해 기법을 활용하여, N개의 물체/정점 수와 n개의 그래프 크기를 고려할 때 시간 복잡도 2^{poly(1/ϵ, log N)} · n^{O(1)} 내에서 (1+ϵ)-근사해를 달성한다.

ABSTRACT

We consider two optimization problems in planar graphs. In {Maximum Weight Independent Set of Objects} we are given a graph G and a family D of {objects}, each being a connected subgraph of G with a prescribed weight, and the task is to find a maximum-weight subfamily of D consisting of pairwise disjoint objects. In {Minimum Weight Distance Set Cover} we are given an edge-weighted graph G, two sets D,C of vertices of G, where vertices of D have prescribed weights, and a nonnegative radius r. The task is to find a minimum-weight subset of D such that every vertex of C is at distance at most r from some selected vertex. Via simple reductions, these two problems generalize a number of geometric optimization tasks, notably {Maximum Weight Independent Set} for polygons in the plane and {Weighted Geometric Set Cover} for unit disks and unit squares. We present {quasi-polynomial time approximation schemes} (QPTASs) for both of the above problems in planar graphs: given an accuracy parameter epsilon>0 we can compute a solution whose weight is within multiplicative factor of (1+epsilon) from the optimum in time 2^{poly(1/epsilon,log |D|)}* n^{O(1)}, where n is the number of vertices of the input graph. Our main technical contribution is to transfer the techniques used for recursive approximation schemes for geometric problems due to Adamaszek, Har-Peled, and Wiese [Adamaszek and Wiese, 2013; Adamaszek and Wiese, 2014; Sariel Har-Peled, 2014] to the setting of planar graphs. In particular, this yields a purely combinatorial viewpoint on these methods.

연구 동기 및 목표

• 해당 문제의 해가 최적해의 (1+ϵ) 이내에 있도록 보장하는 효율적인 근사 알고리즘을 개발하기 위해.
• 예를 들어 다각형의 독립 집합이나 단위 원판을 위한 집합 총망과 같은 기하 최적화 문제들을 평면 그래프 환경으로 일반화하기 위해.
• 원래 유클리드 공간을 대상으로 설계된 재귀적 기하 근사 기법을 조합론적 평면 그래프 환경으로 이식하기 위해.
• 기하적 매bedding에 의존하지 않는 순수 조합론적 프레임워크를 통해 평면 그래프에서 QPTAS를 수립하기 위해.

제안 방법

• 기하적 환경에서의 재귀적 근사 프레임워크(Adamaszek, Har-Peled, Wiese)를 그래프 분리자를 활용해 평면 그래프로 적응시킨다.
• 최적해와의 교차 수를 최소화하는 희소 분리자를 사용해 그래프를 분할하는 재귀적 분해 전략을 사용한다.
• 최적해에 포함될 가능성이 높은 고무중량 정점(중요 정점)의 작은 집합을 추측한 후, 나머지 그래프를 두 개의 부분 문제로 나눈다.
• 깊이에 따라 변하는 근사 요소를 유지하면서, 재귀적 부분 문제의 계층에 대해 동적 프로그래밍을 적용한다.
• 현재 부분 문제에서 최적해의 무게에 기반한 정지 조건을 갖는 깊이 제한된 재귀를 사용한다.
• 핵심 보조정리(Lemma 24)를 활용하여 재귀적 부분 문제가 균형 잡힌 무게 분포를 유지하고 (1+ϵ)-근사해를 도출할 수 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반경 r이 입력에 포함되어 일정하지 않은 경우, 평면 그래프에서의 포장 및 커버링 문제에 대해 준다항 시간 근사법을 설계할 수 있는가?
• RQ2 기하 최적화에서 유래한 재귀적 분리자 기반 근사 기법을 조합론적 평면 그래프 환경으로 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 MWISO와 MWDSC에 대해 실행 시간 2^{poly(1/ϵ, log N)} · n^{O(1)} 내에서 (1+ϵ)-근사해를 달성할 수 있는가?
• RQ4 평면 그래프의 구조적 성질을 어떻게 활용하여 효율적이고 정확한 근사 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ5 보로노이 다이어그램과 재귀적 분해의 기하적 직관을 순수 조합론적으로 평면 그래프에 대해 형식화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 실행 시간 2^{poly(1/ϵ, log N)} · n^{O(1)} 내에서 평면 그래프에서 최대 무게를 가진 물체의 독립 집합(MWISO)에 대해 QPTAS를 제시한다.
• 유사한 점근적 실행 시간을 갖는 QPTAS가 평면 그래프에서 최소 무게를 가진 거리 집합 총망(MWDSC)에 대해서도 개발되었다.
• (1+ϵ) 근사해는 희소 분리자를 사용한 그래프의 재귀적 분해와 부분 문제에서 최적해의 무게를 제한함으로써 달성된다.
• 알고리즘은 깊이에 따라 변하는 근사 요소를 사용하며, 이는 재귀 수준을 거치면서 누적되어 (1 + 2d′ϵ)가 되며, 전체적으로 (1+ϵ) 근사해를 보장한다.
• 이 방법은 고무중량 정점(중요 정점)의 작은 집합을 추측하고, 나머지 해의 무게가 각 부분 문제에서 유한하게 제한되도록 그래프를 분할하는 데 의존한다.
• 알고리즘의 정확성은 재귀 깊이에 대한 귀납법을 통해 증명되며, 반환된 해의 무게가 최적해의 최대 (1+ϵ) 배 이내임을 보여준다.