[논문 리뷰] Quasi-projectivity of the moduli space of smooth Kahler-Einstein Fano manifolds

Chi Li, Xiaowei Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 23.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 44인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 켈러-아인슈타인 파노 다양체의 모듈리 공간의 준사영성(quasi-projectivity)을 증명한다. 이는 그 적절한 컴actification 위의 CM 선다발에 대한 표준 연속 헤르미트 메트릭을 구성함으로써 이루어지며, 이 메트릭의 곡률은 웰-피터슨 메트릭을 확장하는 양의 (1,1)-현재(current)이다. 이에 따라 CM 선다발은 컴actification에서 네프(nef)이자 빅(big)이며, 매끄러운 부분에서 앰플(ample)임을 증명함으로써 티안의 추측을 확인한다.

ABSTRACT

In this note, we prove that there is a canonical continuous Hermitian metric on the CM line bundle over the proper moduli space $\bar{\mathcal{M}}$ of smoothable Kahler-Einstein Fano varieties. The curvature of this metric is the Weil-Petersson current, which exists as a positive (1,1)-current on $\bar{\mathcal{M}}$ and extends the canonical Weil-Petersson current on the moduli space parametrizing smooth Kahler-Einstein Fano manifolds $\mathcal{M}$. As a consequence, we show that the CM line bundle is nef and big on $\bar{\mathcal{M}}$ and its restriction on $\mathcal{M}$ is ample.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 켈러-아인슈타인 파노 다양체의 모듈리 공간의 준사영성에 대한 티안의 추측을 해결하기 위해.
• 적절한 모듈리 컴actification $\overline{\mathcal{M}}$ 위의 CM 선다발에 대한 표준 연속 헤르미트 메트릭을 구성하기 위해.
• 이 메트릭의 곡률이 매끄러운 부분 $\overline{\mathcal{M}}^\circ$ 에서의 웰-피터슨 현재에서 확장되는 양의 (1,1)-현재임을 보이기 위해.
• $\overline{\mathcal{M}}$ 에서 CM 선다발이 네프이자 빅임을 확립하기 위해.
• 특이 메트릭과 데린헤이(pairing)를 이용한 미분기하학적 접근을 통해 모듈리 컴actification를 다루기 위해.

제안 방법

• 켈러-아인슈타인 파노 다양체의 가속 가족 위의 상대적 정규화 다발의 데린헤이 쌍으로서의 연속 헤르미트 메트릭 $h_{\rm DP}$ 를 구성하기 위해.
• 부분 $C^0$-추정을 사용하여 메트릭의 붕괴를 통제하고 체적 형식의 균일한 적분 가능성을 확보하기 위해.
• 복소 공간 위의 복소다중해석함수 이론을 적용하여 모듈리 컴actification에서의 특이점을 다루기 위해.
• 헤르미트 메트릭 $h_{\rm DP}$ 의 곡률로 웰-피터슨 현재 $\omega_{\rm WP}$ 를 정의하며, 이는 매끄러운 부분에서의 매끄러운 웰-피터슨 메트릭을 확장한다.
• 곡률 현재 $\omega_{\rm WP}$ 가 전체 컴actified 모듈리 공간 $\overline{{\mathcal{M}}}$ 에서 양의 (1,1)이면서 연속적임을 증명하기 위해.
• 등변 해소와 토릭 좌표를 통해 CM 선다발 $\lambda_{\rm CM}$ 이 $\overline{{\mathcal{M}}}$ 에서 선다발 $\Lambda_{\rm CM}$ 으로 강하되기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄러운 켈러-아인슈타인 파노 다양체의 모듈리 공간은 양의 곡률를 가진 표준 헤르미트 메트릭을 갖는가?
• RQ2 매끄러운 부분에서의 웰-피터슨 현재는 전체 컴actified 모듈리 공간으로 양의 (1,1)-현재로 확장될 수 있는가?
• RQ3 컴actified 모듈리 공간 $\overline{{\mathcal{M}}}$ 에서의 CM 선다발은 네프이자 빅인가?
• RQ4 매끄러운 부분 ${\mathcal{M}}$ 에 제한된 CM 선다발은 앰플인가?
• RQ5 이러한 메트릭의 존재는 ${\mathcal{M}}$ 의 준사영성을 암시하는가?

주요 결과

• CM 선다발 $\lambda_{\rm CM}$ 은 적절한 모듈리 컴actification $\overline{{\mathcal{M}}}$ 에서 선다발 $\Lambda_{\rm CM}$ 으로 강하된다.
• CM 선다발 $\Lambda_{\rm CM}$ 에서는 연속적인 표준 헤르미트 메트릭 $h_{\rm DP}$ 가 존재하며, 그 곡률은 $\overline{{\mathcal{M}}}$ 에서의 양의 (1,1)-현재 $\omega_{\rm WP}$ 이다.
• 곡률 현재 $\omega_{\rm WP}$ 는 매끄러운 부분 ${\mathcal{M}}^\prime \subset {\mathcal{M}}$ 에서의 표준 웰-피터슨 현재 $\omega_{\rm WP}^\circ$ 를 확장한다.
• CM 선다발 $\Lambda_{\rm CM}$ 은 $\overline{{\mathcal{M}}}$ 에서 네프이자 빅이며, ${\mathcal{M}}$ 에 제한된 경우 앰플이다.
• 매끄러운 켈러-아인슈타인 파노 다양체의 모듈리 공간 ${\mathcal{M}}$ 은 준사영적이다.
• 매개수 $t \to 0$ 으로 갈수록 붕괴하는 섬유 위에서의 체적 형식의 적분이 균일하게 0으로 수렴함을 확인하여, 특이 설정에서의 메트릭의 적분 가능성을 입증한다.