[논문 리뷰] Quasi-radial nodal solutions for the Lane-Emden problem in the ball

Francesca Gladiali, Isabella Ianni|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 11.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ℝ²의 단위구에서 노드 집합이 경계에 닿지 않는 유한 개의 분리된 단순 폐곡선으로 이루어진 비원형, 준원형 부호 변화 해가 존재함을 증명한다. 특정 p 값에서 최소 에너지 원형 노드 해 u_p로부터 비원형 분기 이론과 큰 p에 대한 점점이 분석을 사용하여 이러한 해가 존재하고 대칭성 붕괴를 겪음을 입증한다. 이는 일부 대칭 해가 p에 따라 비원형이 되는 것을 의미한다.

ABSTRACT

We consider the semilinear elliptic problem \begin{equation}\label{problemAbstract} \left\{\begin{array}{lr}-Δu= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }B\\ u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial B \end{array} ight. ag{$\mathcal E_p$} \end{equation} where $B$ is the unit ball of $\mathbb R^2$ centered at the origin and $p\in (1,+\infty)$. We prove the existence of non-radial sign-changing solutions to \eqref{problemAbstract} which are \emph{quasi-radial}, namely solutions whose nodal line is the union of a finite number of disjoint simple closed curves, which are the boundary of nested domains contained in $B$. In particular the nodal line of these solutions doesn't touch $\partial B$. \\ The result is obtained with two different approaches: via nonradial bifurcation from the least energy sign-changing radial solution $u_p$ of \eqref{problemAbstract} at certain values of $p$ and by investigating the qualitative properties, for $p$ large, of the least energy nodal solutions in spaces of functions invariant by the action of the dihedral group generated by the reflection with respect to the $x$-axis and the rotation about the origin of angle $\frac{2π}{k}$ for suitable integers $k$.\\ We also prove that for certain integers $k$ the least energy nodal solutions in these spaces of symmetric functions are instead radial, showing in particular a breaking of symmetry phenomenon in dependence on the exponent $p$.

연구 동기 및 목표

• 노드 곡선이 경계에 닿지 않는 유한 개의 분리된 단순 폐곡선으로 이루어진 비원형 부호 변화 해가 존재함을 입증한다.
• 이면 대칭 제약 조건 하에서 최소 에너지 노드 해의 대칭성 붕괴 현상을 조사한다. 특히, p에 따라 대칭 해가 원형일지라도 비원형이 되는지 여부를 조사한다.
• 원형 노드 해의 모스 지수와 에너지 수준을 전역 최소 에너지 노드 해와 비교하여 원형 해가 에너지 최소화가 되지 않음을 보여준다.
• p → ∞일 때 해의 점점이 행동을 분석하고, 붕괴 기법과 라플라스 연산자의 고유함수 수렴을 사용한다.

제안 방법

• 특정 p 값에서 최소 에너지 원형 노드 해 u_p로부터 비원형 분기 이론을 적용하여 비원형 준원형 해를 구성한다.
• p → ∞일 때 정규화된 해의 극한 행동을 분석하기 위해 스케일링을 하고, C(𝐵̄)에서 두 번째 원형 고유함수 φ₂,rad의 배수로 수렴한다는 사실을 이용한다.
• 항등식 e^x - 1 = x ∫₀¹ e^{sx} ds를 사용하여 비선형성 |u|^{p-1}u를 경로 적분 형태로 전개함으로써 해의 프로파일에 대한 점점이 분석을 가능하게 한다.
• 2π/k의 회전과 x축에 대한 반사에 관하여 불변인 함수들로 이루어진 대칭 부분공간 H₀¹,ₖ(B)에서 변분 방법을 적용하여 대칭 노드 해 u_p^k를 연구한다.
• 약한 형태에서 적분과 극한을 취할 때 모순을 도출함으로써, 극한 함수가 φ₂,rad의 배수이면서 동시에 유도된 적분 항등식을 만족할 수 없음을 보여주며, 이는 C=0이 되어야 하므로 정규화 조건과 모순된다.
• 최소 에너지 노드 해 𝔀_p는 폴리에트-스카르츠 대칭성을 가지며 노드 집합이 경계에 닿는 반면, 본 논문에서 구성된 준원형 해의 노드 곡선은 엄밀히 내부에 존재한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위구에서 노드 집합이 경계에 닿지 않는 유한 개의 분리된 단순 폐곡선으로 이루어진 비원형 부호 변화 해가 존재하는가?
• RQ2 최소 에너지 원형 노드 해 u_p로부터 비원형 분기를 통해 특정 p 값에서 준원형 해를 생성할 수 있는가?
• RQ3 p가 변화함에 따라 H₀¹,ₖ(B)에서 최소 에너지 노드 해의 대칭성이 붕괴되는가? 즉, 어떤 k와 p에 대해 u_p^k가 비원형이 되는가?
• RQ4 원형 노드 해의 모스 지수는 전역 최소 에너지 노드 해와 비교해 어떻게 되며, 이는 에너지 최소화 가능성에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 p → ∞일 때 대칭 부분공간에서 최소 에너지 노드 해의 점점이 행동은 어떠한가? 그리고 이들은 라플라스 연산자의 고유함수로 수렴하는가?

주요 결과

• 레인-에멜린 문제에 대해 단위구에서 비원형 준원형 노드 해가 존재하며, 노드 집합은 B 내부에 있는 유한 개의 분리된 단순 폐곡선으로 이루어져 있으며, ∂B에 닿지 않는다.
• 최소 에너지 노드 해 𝔀_p는 원형이 아니며, 이는 모스 지수 m(𝔀_p) = 2가 원형 해 u_p의 m(u_p) ≥ 4보다 작기 때문이다.
• 큰 p에 대해 대칭 공간 H₀¹,ₖ(B)에서 최소 에너지 노드 해는 C(𝐵̄)에서 두 번째 원형 고유함수 φ₂,rad의 배수로 수렴하며, 이 수렴성은 u_p^k가 원형일 것이라는 가정에서 모순을 유도하는 데 사용된다.
• 대칭성 붕괴가 발생한다: 특정 정수 k와 p에 대해 H₀¹,ₖ(B)에서 최소 에너지 노드 해는 비원형이지만, 이는 이면 군 작용에 대해 불변이다.
• 전역 최소 에너지 노드 해 𝔀_p의 노드 집합은 경계 ∂B에 닿지만, 본 논문에서 구성된 준원형 해의 노드 곡선은 엄밀히 내부에 존재한다.
• p가 1에 가까울 때 H₀¹,₂(B)에서 최소 에너지 해는 준원형이 아니며, 이는 λ₄ = λ₅의 분리된 고유값에 대응하는 고유함수로 수렴하기 때문이다. 이 고유함수는 준원형이 아니다.