[논문 리뷰] Quasi-regular representations of discrete groups and associated C*-algebras

Bachir Bekka, Mehrdad Kalantar|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 01.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 28인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 가чёт한 이산군에서 스펙트럴 간격과 약한 평행 부분군 계열을 도입하여, 이러한 부분군의 준정규 표현이 약한 동치 하에 강한 정규성(즉, 약한 동치류가 그의 동형류와 일치함)을 가짐을 증명한다. 또한 이러한 표현이 생성하는 C*-대수는 유일한 최소 비자명 이상과 가장 큰 진부분 이상을 갖는다는 것을 보이며, C*-단순성 기준을 일반화하고 딕스미어 유형의 근사성 성질을 확장한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a countable group. We introduce several equivalence relations on the set ${\ m Sub}(G)$ of subgroups of $G$, defined by properties of the quasi-regular representations $\\lambda_{G/H}$ associated to $H\\in {\ m Sub}(G)$ and compare them to the relation of $G$-conjugacy of subgroups. We define a class ${\ m Sub}_{\ m sg}(G)$ of subgroups (these are subgroups with a certain spectral gap property) and show that they are rigid, in the sense that the equivalence class of $H\\in {\ m Sub}_{\ m sg}(G)$ for any one of the above equivalence relations coincides with the $G$-conjugacy class of $H$. Next, we introduce a second class ${\ m Sub}_{\ m w-par}(G)$ of subgroups (these are subgroups which are weakly parabolic in some sense) and we establish results concerning the ideal structure of the $C^*$-algebra $C^*_{\\lambda_{G/H}}(G)$ generated by $\\lambda_{G/H}$ for subgroups $H$ which belong to either one of the classes ${\ m Sub}_{\ m w-par}(G)$ and ${\ m Sub}_{\ m sg}(G)$. Our results are valid, more generally, for induced representations ${\ m Ind}_H^G \\sigma$, where $\\sigma$ is a representation of $H\\in {\ m Sub}(G)$.

연구 동기 및 목표

• 가чёт한 이산군 G의 준정규 표현 λ_{G/H}와 λ_{G/L}이 언제 약한 동치가 되는지 이해하는 것, 즉 Prim(G)에서 같은 점을 정의하는지 확인하는 것.
• 스펙트럴 간격 성질을 갖는 Sub_{sg}(G)와 약한 평행적 구조를 갖는 Sub_{w-par}(G)라는 두 종류의 부분군을 정의하고, 이들의 표현이 정규성과 구조적 제약을 갖는 C*-대수를 유도하는지 연구하는 것.
• 이러한 부분군에서 유도된 표현이 생성하는 C*-대수의 이상 구조를 특성화하고, 특히 최소 이상과 최대 진부분 이상을 식별하는 것.
• 기존의 C*-단순성 기준을 일반화하고, 유도된 표현으로까지 딕스미어 유형의 근사성 성질을 확장하는 것.

제안 방법

• Sub(G) 위에서의 동치관계 ∼_conj, ∼_w-conj, ∼_rep, ∼_w-rep를 도입하여 준정규 표현의 동형과 약한 동치를 비교한다.
• 스펙트럴 간격 성질을 갖는 Sub_{sg}(G)를 정의한다. 이는 ℓ²(G/H)의 스펙트럼에서 자명 표현 1_H가 고립되어 있음을 보장한다.
• 약한 평행 조건을 만족하는 부분군을 정의하여, 리 군에서의 평행 부분군 개념을 일반화한다.
• Sub(G)에서 Rep(G)로의 사상 H ↦ λ_{G/H}가 차바우티 및 펠 토폴로지에 대해 연속임을 이용하여 준궤도 구조를 분석한다.
• 하아거룹과 글림-톰의 결과를 응용하여, 유도된 표현 π = Ind_H^G σ에 대해 C*_{π}(G)의 추적 가능성과 이상 구조를 분석한다.
• Sub_{w-par}(G)에 속하는 표현에 대해 딕스미어 근사성 성질을 확립하여, 공액의 평균이 유한집합에서 균일하게 작게 만들 수 있음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가чёт한 이산군 G의 두 준정규 표현 λ_{G/H}와 λ_{G/L}이 언제 약한 동치가 되는가?
• RQ2 어떤 부분군 H ∈ Sub(G)에 대해 λ_{G/H}의 약한 동치류가 그의 G-동형류와 일치하는가?
• RQ3 스펙트럴 간격 또는 약한 평행적 구조를 갖는 부분군 H에 대해 C*-대수 C*_{λ_{G/H}}(G)의 이상 구조는 어떠한가?
• RQ4 G의 C*-단순성 기준을 Sub_{w-par}(G) ∩ Sub_{sg}(G)에 속하는 부분군에서 유도된 표현으로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 Sub_{sg}(G)에 속하는 부분군에서 유도된 표현이 생성하는 C*-대수에 유일한 최소 비자명 이상이 존재하는가?

주요 결과

• Sub_{sg}(G)에 속하는 부분군은 정규성을 갖는다: ∼_w-rep 동치류가 그의 G-동형류와 일치한다.
• H ∈ Sub_{sg}(G)이면, π = Ind_H^G σ에 의해 생성되는 C*-대수 C*_{π}(G)는 유일한 최소 비자명 이상 I_min를 포함한다.
• H ∈ Sub_{w-par}(G)이면, C*-대수 C*_{λ_{G/H}}(G)는 G가 C*-단순일 때에만 단순하며, 이는 기존 기준을 일반화한다.
• 정규 표현 λ_G는 C*_{π}(G)로 확장되며, 그 핵은 가장 큰 진부분 이상과 일치한다. 이는 자연스러운 몫 표현을 유도한다.
• π = Ind_H^G σ이고 H ∈ Sub_{w-par}(G) ∩ Sub_{sg}(G)이면, 모든 ρ ≺ π에 대해 ρ ̸∼ π이면 λ_G ≺ ρ ≺ π_min ≺ π 를 만족하는 최소 표현 π_min 가 존재한다.
• G = PSL_n(ℤ), H = PSL_{n-1}(ℤ) (n ≥ 3)의 예는 Sub_{w-par}(G) ∩ Sub_{sg}(G)에 속하며, 이는 이 이론이 산술군에도 적용됨을 보여준다.