[논문 리뷰] Quasi-regular sequences and optimal schedules for security games

David Kempe, Leonard J. Schulman외 1명|CaltechAUTHORS (California Institute of Technology)|2016. 11. 22.

Advanced Graph Theory Research인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 연속 시간 보안 게임에서 방어자 스케줄링에 최적의 전략이 되는 K-준규칙적 수열—특히 2-준규칙적 수열과 무작위화된 2-준규칙적 수열—을 도입한다. 황금비와 에르고딕 이론의 성질을 활용하여, 타겟의 가치가 상이하고 방어자의 전환 시간이 1단위일 경우에도 공격자의 기대 수익을 최소화하는 수열이 보장됨을 증명한다. 이는 오랫동안 해결되지 않았던 보안 게임의 스케줄링 과제를 해결한다.

ABSTRACT

We study security games in which a defender commits to a mixed strategy for protecting a finite set of targets of different values. An attacker, knowing the defender's strategy, chooses which target to attack and for how long. If the attacker spends time $t$ at a target $i$ of value $α_i$, and if he leaves before the defender visits the target, his utility is $t \cdot α_i $; if the defender visits before he leaves, his utility is 0. The defender's goal is to minimize the attacker's utility. The defender's strategy consists of a schedule for visiting the targets; it takes her unit time to switch between targets. Such games are a simplified model of a number of real-world scenarios such as protecting computer networks from intruders, crops from thieves, etc. We show that optimal defender play for this continuous time security games reduces to the solution of a combinatorial question regarding the existence of infinite sequences over a finite alphabet, with the following properties for each symbol $i$: (1) $i$ constitutes a prescribed fraction $p_i$ of the sequence. (2) The occurrences of $i$ are spread apart close to evenly, in that the ratio of the longest to shortest interval between consecutive occurrences is bounded by a parameter $K$. We call such sequences $K$-quasi-regular. We show that, surprisingly, $2$-quasi-regular sequences suffice for optimal defender play. What is more, even randomized $2$-quasi-regular sequences suffice for optimality. We show that such sequences always exist, and can be calculated efficiently. The question of the least $K$ for which deterministic $K$-quasi-regular sequences exist is fascinating. Using an ergodic theoretical approach, we show that deterministic $3$-quasi-regular sequences always exist. For $2 \leq K < 3$ we do not know whether deterministic $K$-quasi-regular sequences always exist.

연구 동기 및 목표

• 전환 시간이 1단위인 연속 시간 보안 게임에서 최적의 방어자 스케줄을 찾는 데 도전 과제를 해결하기 위해.
• 각 기호의 연속적인 발생 간격 비율이 유한한 알파벳 위의 무한 수열로 방어자 전략을 모델링하고, 각 기호의 발생 빈도가 지정된 극한 빈도를 가지며, 간격 비율이 유한하게 제한됨을 보장하기 위해.
• 최대 간격과 최소 간격의 비율이 최대 2인 2-준규칙적 수열이 존재함을 증명하고, 일반적인 빈도 분포에 대해 1-준규칙적 수열이 존재하지 않음에도 불구하고 최적의 방어자 전략을 제공함을 보장하기 위해.
• 정규화된 2-준규칙적 수열과 무작위화된 2-준규칙적 수열이 존재하며, 효율적으로 계산 가능함을 보이며, 최적의 방어를 보장함을 보여주기 위해.
• 이러한 수열의 이론적 한계를 탐색하여, 결정론적 3-준규칙적 수열이 항상 존재하고 최적 전략에 대해 약 1.006-근사치를 제공함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 각 타겟 i가 지정된 극한 빈도 pi로 나타나는 유한한 타겟 집합 위의 무한 수열로 방어자 전략을 모델링한다.
• K-준규칙적 수열을 정의하여, 기호 i의 연속적인 발생 간격의 최대값과 최소값의 비율이 최대 K 이하가 되도록 한다.
• 황금비 ϕ를 사용하여 (λ + t/ϕ) mod 1의 분수 부분을 통해 스케줄을 구성함으로써 타겟 방문 간격을 균일하게 유지한다.
• 2-준규칙적 수열—정규화된 경우와 무작위화된 경우—이 공격자의 기대 수익을 최소화함으로써 최적의 방어자 수익을 달성함을 증명한다.
• 에르고딕 이론과 ϕ의 연분수 근사 성질을 적용하여 3-준규칙적 수열의 존재성과 효율적 계산 가능성을 보여준다.
• ϕ의 유리수 근사와 무작위 오프셋 λ를 사용하여 알고리즘을 구현하며, 자릿수 정밀도를 통한 오차 범위 제어를 통해 높은 확률로 정확성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 시간 보안 게임에서 최적의 방어자 전략은 타겟 방문 간격 비율이 유한한 조합적 수열로 줄일 수 있는가?
• RQ2 일반적인 타겟 가치 분포에 대해 1-준규칙적 수열(산술적 등차수열)이 항상 존재하는가? 존재하지 않는다면, 대체 수열이 여전히 최적의 전략을 제공할 수 있는가?
• RQ3 1-준규칙적 수열이 존재하지 않는 경우에도 2-준규칙적 수열을 통해 최적의 방어자 수익을 달성할 수 있는가?
• RQ4 무작위화된 2-준규칙적 수열도 최적성을 보장할 수 있으며, 만약 그렇다면 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 결정론적 K-준규칙적 수열이 항상 존재하는 최소의 K는 무엇이며, 이러한 수열은 어떤 근사 보장을 제공하는가?

주요 결과

• 최대 간격과 최소 간격의 비율이 최대 2인 2-준규칙적 수열은 보안 게임에서 최적의 방어자 수익을 보장한다.
• 무작위화된 2-준규칙적 수열 역시 최적성을 달성하며, 강건성과 실용적 타당성을 제공한다.
• 일반적인 pi에 대해 1-준규칙적 수열이 존재하지 않음에도 불구하고, 2-준규칙적 수열은 항상 존재하고 효율적으로 계산 가능하다.
• 결정론적 3-준규칙적 수열은 항상 존재하며 최적의 방어자 전략에 대해 약 1.006-근사치를 제공한다.
• 충분히 작은 pi에 대해, 임의의 ε > 0에 대해 (1+ε)-준규칙적 결정론적 수열이 존재하여 최적에 매우 가까운 전략을 가능하게 한다.
• 스케줄을 계산하는 알고리즘은 ϕ의 유리수 근사와 O(log n + log t) 자릿수의 무작위성으로 다항 시간 내에 실행되며, 고확률 정확성을 보장한다.