[논문 리뷰] Quasi-shuffle products

Michael E. Hoffman|ArXiv.org|1999. 07. 27.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 8인용 수 73

한 줄 요약

이 논문은 비가환 다항식 대수에서 쿼asi-셔플 제품을 도입하며, 공통의, 결합법칙이 성립하고 차수를 더하는 괄호 연산 [a,b]를 포함함으로써 셔플 곱을 일반화한다. 이에 따라 유도된 대수는 가환성, 결합법칙, 등급을 가진 k-대수임을 증명하고, 호프 대수의 구조를 구성한다. 주요 기여는 셔플 대수에서 쿼아시-셔플 대수로의 명시적 동형사상 exp를 제공함으로써, 후자가 린든 단어 위에 자유로운 다항식 대수임을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

Given a locally finite graded set A and a commutative, associative operation on A that adds degrees, we construct a commutative multiplication * on the set of noncommutative polynomials in A which we call a quasi-shuffle product; it can be viewed as a generalization of the shuffle product. The resulting commutative algebra can be given the structure of a Hopf algebra (_A_,*,Delta). In the case where A is the set of positive integers and the operation on A is addition, (_A_,*,Delta) is the Hopf algebra of quasi-symmetric functions. If rational coefficients are allowed, there is a Hopf algebra isomorphism exp from the shuffle Hopf algebra on A onto (_A_,*,Delta). We discuss the dual of (_A_,*,Delta), and define a deformation *_q of * that coincides with * when q = 1 and is isomorphic to the concatenation product when q is not a root of unity. Finally, we discuss various examples of this construction.

연구 동기 및 목표

• 셔플 곱을 일반화하기 위해, 가환성, 결합법칙, 차수를 더하는 성질을 가진 괄호 연산 [·,·]을 사용하는 새로운 곱 *를 도입한다.
• 유도된 대수 (A, *)가 가환성, 결합법칙, 등급을 가진 k-대수임을 증명하고, 표준 코프로덕트 Δ에 대해 호프 대수를 이룬다.
• 셔플 대수 (A, sh)에서 쿼아시-셔플 대수 (A, *)로의 명시적 대수 동형사상 exp를 구성함으로써, (A, *)가 린든 단어 위에 자유로운 다항식 대수임을 증명한다.
• 쿼아시-셔플 호프 대수의 등급 쌍대를 연구하고, 연결 곱 호프 대수와의 동형사상 exp*를 설정한다.
• 쿼아시-셔플 곱의 q-변형 *q를 도입하고, q가 단위근이 아니면 연결 대수와 동형임을 증명한다.

제안 방법

• 글자 a,b와 단어 w₁,w₂에 대해, aw₁ * bw₂ = a(w₁ * bw₂) + b(aw₁ * w₂) + [a,b](w₁ * w₂)로 인도적으로 쿼아시-셔플 곱 *를 정의한다.
• 괄호 연산 [·,·]에 대한 축약 조건 (S1)–(S3)를 사용하여, *가 가환성, 결합법칙, 차수를 유지하는지 귀납법으로 증명한다.
• 표준 코프로덕트 Δ(w) = ∑_{uv=w} u⊗v를 사용하여 (A, *, Δ)에 호프 대수의 구조를 부여한다.
• 생성 함수 방법을 통해 셔플 대수 (A, sh)에서 쿼아시-셔플 대수 (A, *)로의 동형사상 exp를 구성한다. 이는 단어를 그들의 *-곱으로 매핑한다.
• 바르카노프의 정리를 사용하여, q가 단위근이 아니면 q-변형 곱 *q가 연결 대수와 동형임을 증명한다.
• 루트 단위근을 가진 멱급수에 단항식을 할당하는 방법으로 φₙ: ℰᵣ → ℂ[t₁,…,tₙ]을 정의하고, 이를 통해 극한 사상 φ: ℰᵣ → ℙ의 단사성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 괄호 연산 [·,·]에 어떤 조건이 성립할 경우 쿼아시-셔플 곱 *가 가환성과 결합법칙을 갖는가?
• RQ2 쿼아시-셔플 대수 (A, *)는 셔플 대수 (A, sh)와 동형인가? 만약 그렇다면, 이 동형사상은 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 쿼아시-셔플 호프 대수 (A, *, Δ)의 등급 쌍대는 연결 곱 호프 대수와 동형인가?
• RQ4 쿼아시-셔플 곱의 q-변형 *q는 연결 대수와 어떤 관계를 가지며, 언제 동형이 되는가?
• RQ5 쿼아시-대칭 함수는 어떤 호프 대수의 형식적 멱급수 환에 임베딩될 수 있으며, 이 임베딩은 단사적인가?

주요 결과

• 쿼아시-셔플 곱 *는 비가환 다항식 대수 k⟨A⟩ 위에서 가환성, 결합법칙, 차수를 유지하는 곱이다.
• 대수 (A, *)는 명시적 동형사상 exp를 통해 셔플 대수 (A, sh)와 동형이며, 이는 셔플 곱을 쿼아시-셔플 곱으로 매핑한다.
• 쿼아시-셔플 대수 (A, *, Δ)는 호프 대수이며, 그 등급 쌍대는 exp*를 통해 연결 곱 호프 대수와 동형이다.
• q가 단위근이 아니면 q-변형 곱 *q는 바르카노프의 정리를 사용하여 연결 대수와 동형임을 증명한다.
• 오일러 대수 ℰᵣ는 호프 대수의 극한으로서의 다항식 환 ℂ[t₁,…,tₙ]의 극한에 단사적으로 임베딩되며, 이는 사상 φₙ를 통해 이루어지며, 극한 사상 φ: ℰᵣ → ℙ는 단사적이다.
• 사상 φₙ는 등급을 유지하며, φₙ(zₚ,ⱼw) = ∑_{m>1} ω^{im} tₘᵖ φₘ₋₁(w)를 만족한다. 여기서 ω = e^{2πi/r}이다.