[논문 리뷰] Quasi-stationary distributions and Fleming-Viot processes for finite state Markov processes

Amine Asselah, Pablo A. Ferrari외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 04. 20.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 흡수 상태를 가진 유한 상태 연속 시간 마르코프 체인에 대한 플링거-비엇 과정을 연구한다. 입자 수 N → ∞ 일 때, N개 입자의 경험적 분포가 단일 입자의 준정적분포로 수렴하고, N개 입자 과정의 불변 측도가 준정적분포로 수렴하며, 두 입자 간 상관관계는 O(1/N)로 감소함을 보인다.

ABSTRACT

Consider a continuous time Markov chain with rates Q in the state space \Lambda\cup\{0\} with 0 as an absorbing state. In the associated Fleming-Viot process N particles evolve independently in \Lambda with rates Q until one of them attempts to jump to the absorbing state 0. At this moment the particle comes back to \Lambda instantaneously, by jumping to one of the positions of the other particles, chosen uniformly at random. When \Lambda is finite, we show that the empirical distribution of the particles at a fixed time converges as N o\infty to the distribution of a single particle at the same time conditioned on non absorption. Furthermore, the empirical profile of the unique invariant measure for the Fleming-Viot process with N particles converges as N o\infty to the unique quasi-stationary distribution of the one-particle motion. A key element of the approach is to show that the two-particle correlations is of order 1/N.

연구 동기 및 목표

• 유한 상태 연속 시간 마르코프 체인에서 N개 입자를 가진 플링거-비엇 과정의 장기적 행동을 이해하기 위해.
• 단일 입자의 준정적분포와 N개 입자 플링거-비엇 과정의 불변 측도 간의 관계를 규명하기 위해.
• N → ∞ 근처에서 입자 상관관계의 척도를 분석하기 위해.
• N개 입자 경험적 분포가 흡수되지 않은 조건부 조건에서 단일 입자의 분포로 수렴함을 증명하기 위해.

제안 방법

• 0을 흡수 상태로 하는 Λ ∪ {0} 위의 연속 시간 마르코프 체인을 모델링하고, 전이 비율 Q를 정의한다.
• 입자들이 Λ 내에서 독립적으로 점프하다가, 한 입자가 0으로 흡수하려는 시도를 하면 나머지 N−1개 입자들 중에서 균일하게 재표본 추출하는 N개 입자 플링거-비엇 과정을 정의한다.
• 고정된 시간 t에서 N개 입자 과정에 따른 입자 위치의 경험적 분포를 분석한다.
• 커플링 및 딱두얼리티 기법을 사용하여 두 입자 간 상관관계가 O(1/N)의 순서임을 보인다.
• N → ∞ 일 때, N개 입자 과정의 불변 측도가 단일 입자 과정의 유일한 준정적분포로 약한 수렴함을 증명한다.
• 유한 시간 동안의 경험적 분포가 비흡수 조건부에서의 단일 입자 분포로 수렴함을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 플링거-비엇 과정에서 N개 입자의 경험적 분포가 N → ∞ 일 때 조건부 단일 입자 분포로 수렴하는가?
• RQ2 N개 입자 플링거-비엇 과정의 불변 측도는 단일 입자 과정의 준정적분포와 渐진적으로 동치인가?
• RQ3 플링거-비엇 과정에서 입자 간 상관관계는 N에 따라 어떻게 척도가 조절되는가?
• RQ4 재표본 추출 메커니즘이 비흡수 경험적 측도를 유지하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 고정된 시간에서 N개 입자 경험적 분포는 N → ∞ 일 때, 비흡수 조건부에서 단일 입자의 분포로 확률적으로 수렴한다.
• N개 입자 플링거-비엇 과정의 불변 측도는 N → ∞ 일 때, 단일 입자 과정의 유일한 준정적분포로 약한 수렴한다.
• N개 입자 과정에서의 두 입자 간 상관관계는 O(1/N)의 순서이며, 이는 큰 N 근처에서 점차 독립성이 나타남을 시사한다.
• 불변 측도가 준정적분포로 수렴하는 것은 Λ가 유한하고, 단일 입자 과정이 유일한 준정적분포를 가진다는 가정 하에 성립한다.