[논문 리뷰] Quasi-stationary distributions of multi-dimensional diffusion processes

Alexandru Hening, Weiwei Qi외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 11.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 44인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 시간 내에 거의 확실히 흡수되는 다차원 확산 과정에 대해 준정적분포(QSD)의 존재성, 유일성 및 지수 수렴성을 확립한다. 포켈-플랑크 생성자로부터 유도된 특이적이고 균일 타원형 연산자를 분석함으로써, 저자들은 컴팩트 지지(initial laws)를 가진 초기 분포에 대해 날카운 지수 수렴을 증명하고, 더 강력한 라파노프 조건 하에서 모든 초기 분포에 대해 유일성과 지수 수렴을 확보한다. 이는 이전의 일차원 결과를 일반화하고 특이 계수에 대한 스펙트럼 이론을 확장한다.

ABSTRACT

The present paper is devoted to the investigation of the long term behavior of a class of singular multi-dimensional diffusion processes that get absorbed in finite time with probability one. Our focus is on the analysis of quasi-stationary distributions (QSDs), which describe the long term behavior of the system conditioned on not being absorbed. Under natural Lyapunov conditions, we construct a QSD and prove the sharp exponential convergence to this QSD for compactly supported initial distributions. Under stronger Lyapunov conditions ensuring that the diffusion process comes down from infinity, we show the uniqueness of a QSD and the exponential convergence to the QSD for all initial distributions. Our results can be seen as the multi-dimensional generalization of Cattiaux et al (Ann. Prob. 2009) as well as the complement to Hening and Nguyen (Ann. Appl. Prob. 2018) which looks at the long term behavior of multi-dimensional diffusions that can only become extinct asymptotically. The centerpiece of our approach concerns a uniformly elliptic operator that we relate to the generator, or the Fokker-Planck operator, associated to the diffusion process. This operator only has singular coefficients in its zeroth-order terms and can be handled more easily than the generator. For this operator, we establish the discreteness of its spectrum, its principal spectral theory, the stochastic representation of the semigroup generated by it, and the global regularity for the associated parabolic equation. We show how our results can be applied to most ecological models, among which cooperative, competitive, and predator-prey Lotka-Volterra systems.

연구 동기 및 목표

• 유한 시간 내 거의 확실히 흡수되는 다차원 확산 과정의 장기적 행동을 분석하는 것.
• 이러한 과정에 대해 준정적분포(QSD)의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 컴팩트 지지 초기 분포에 대해 QSD로의 날카운 지수 수렴을 증명하는 것.
• 특이 제로차 계수를 가진 균일 타원형 연산자에 대한 스펙트럼 이론을 확장하는 것.
• 결과를 경쟁적, 공생적, 포식자-피식자 루카-볼테라 시스템을 포함한 생태학적 모델에 적용하는 것.

제안 방법

• 포켈-플랑크 생성자로부터 유도된 균일 타원형 연산자를 도입하며, 이 연산자의 제0차 항에 특이 계수를 포함한다.
• 이 특이 연산자에 대해 스펙트럼의 이산성과 주요 스펙트럼 이론을 확립한다.
• 시간 변화된 과정을 이용하여 이 연산자에 의해 생성되는 셈그룹에 대한 확률적 표현을 개발한다.
• 근사 및 밀도 추론을 통한 방법으로 관련 편태도 방정식의 해에 대한 전역적 정규성을 증명한다.
• 경계 근처의 행동을 제어하고 무한에서 내려오는 것을 보장하기 위해 라파노프 유형 조건을 사용한다.
• 스펙트럼 이론을 적용하여 수렴 속도와 QSD의 유일성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 시간 내 거의 확실히 흡수되는 다차원 확산 과정에 대해 준정적분포(QSD)가 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 모든 초기 분포에 대해, 특히 컴팩트 지지 초기 분포 외에도 QSD로의 지수 수렴을 확보할 수 있는가?
• RQ3 특이적이고 균일 타원형 연산자의 스펙트럼 이론이 QSD의 특성과 수렴 성질을 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 라파노프 조건은 과정이 무한에서 내려오는 것을 어떻게 보장하며, 이는 QSD의 유일성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이러한 결과는 루카-볼테라 시스템과 같은 전통적인 생태학적 모델에 얼마나 광범위하게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 자연스러운 라파노프 조건 하에서, 준정적분포(QSD)가 존재하며 컴팩트 지지 초기 분포에 대해 QSD로의 지수 수렴이 성립한다.
• 무한에서 내려오는 것을 보장하는 더 강력한 라파노프 조건 하에서 QSD는 유일하며, 모든 초기 분포에 대해 지수 수렴이 성립한다.
• 관련된 균일 타원형 연산자의 스펙트럼은 이산적이며, 주 특이값이 지수 감쇠 속도를 결정한다.
• 이 연산자에 의해 생성되는 셈그룹은 시간 변화된 확산 과정을 통한 확률적 표현을 가진다.
• 이 연산자의 주 특이함수는 QSD의 밀도에 해당한다.
• 결과는 Cattiaux 등(2009)의 일차원 설정으로의 일반화이며, Hening과 Nguyen(2018)의 결과를 유한 시간 흡수를 다루는 데서 보완한다.