[논문 리뷰] Quasidiagonality of crossed products

Stefanos Orfanos|arXiv (Cornell University)|2007. 10. 18.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 4인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 분리 가능한 단위원(quasidiagonal) C*-대수 $A$ 와 이산적이고 가산적인 애매한 최대 거의 주기적 군 $G$ 의 작용 $\alpha$ 가 거의 주기적일 경우, $A\rtimes_{\alpha}G$ 의 교차곱이 quasidiagonal임을 증명한다. 증명은 군 $G$ 의 Følner 집합과 타일링을 이용하여 quasidiagonal 프로젝션을 구성하며, Pimsner와 Voiculescu의 $\mathbb{Z}$-작용에 대한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We prove that the crossed product A x G of a separable, unital, quasidiagonal C*- algebra A by a discrete, countable, amenable, maximally almost periodic group G is quasidiagonal, provided that the action is almost periodic.

연구 동기 및 목표

• Pimsner와 Voiculescu의 $A\rtimes_{\alpha}\mathbb{Z}$ 에 대한 quasidiagonality 결과를 더 넓은 군의 범주로 일반화하기 위해.
• 가능하고 최대 거의 주기적인 군 작용 하에서 단위원, 분리 가능한 quasidiagonal C*-대수에 대해 교차곱의 quasidiagonality를 확립하기 위해.
• 잔류 유한한 가능 군에서 Følner 집합과 타일링을 이용한 프로젝션 구성 기법을 개발하여 전체 대수의 quasidiagonality를 실현하기 위해.
• 핵심 적용 사례로 일반화된 Bunce–Deddens 대수에 적용 가능한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 군 $G$ 의 잔류 유한성과 가능성 덕분에 Følner 집합과 $G = K_n L_n$ 의 타일링을 구성하며, $L_n$ 은 유한 지수의 정규부분군이다.
• 교차곱을 연산자 대수의 형태로 표현하기 위해 $\mathcal{H} \otimes \ell^2(G)$ 에서의 정규 코variant 표현 $\sigma \otimes \lambda$ 를 사용한다.
• 군의 잔여류 $yL_n$ 에 대한 특성함수 $\phi_n$ 를 이용해 $\ell^2(G)$ 상의 유한 랭크 프로젝션 $P_n$ 을 구성한다.
• 각 $\mathcal{H}$ 에서 보조 프로젝션 $Q_n$ 을 도입하여 $\| [\rho(a_i), Q_n] \| \to 0$ 이 되도록 하며, 이는 $\rho(a_i)$ 의 quasidiagonality 를 보장한다.
• 결합된 프로젝션 $Q_n \otimes P_n$ 을 통해 $\mathcal{H} \otimes \ell^2(G)$ 상의 프로젝션 수열을 구성하여 전체 대수의 quasidiagonality 를 실현한다.
• 유한 생성 부분군에서 $\alpha$ 의 거의 주기성 덕분에 $\| \alpha(l)a_i - a_i \| \leq 1/n$ 이 되도록 $l \in L_n \cap K_n K_n^{-1} F_n$ 를 선택함으로써 교환자 노름을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 가능한 단위원 quasidiagonal C*-대수 $A$ 와 이산적이고 가산적인 군 $G$ 에 대해, $A\rtimes_{\alpha}G$ 가 quasidiagonal이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Pimsner와 Voiculescu의 결과를 $\mathbb{Z}$ 를 초월하여 가능하고 최대 거의 주기적인 군에 대해 $A\rtimes_{\alpha}G$ 의 quasidiagonality 를 확립할 수 있는가?
• RQ3 가능하고 잔류 유한한 군의 타일링 구조를 어떻게 활용하여 교차곱에 대한 quasidiagonal 프로젝션을 구성할 수 있는가?
• RQ4 군 작용 $\alpha$ 의 거의 주기성이 교차곱의 quasidiagonality 를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 방법은 일반화된 Bunce–Deddens 대수와 같은 quasidiagonal C*-대수를 구성하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 분리 가능한 단위원 quasidiagonal C*-대수 $A$, 이산적이고 가산적인 가능하고 최대 거의 주기적 군 $G$, 그리고 거의 주기적 작용 $\alpha$ 를 가질 경우, 항상 교차곱 $A\rtimes_{\alpha}G$ 는 quasidiagonal이다.
• 유한 랭크 프로젝션 수열 $Q_n \otimes P_n$ 이 $\mathcal{H} \otimes \ell^2(G)$ 상에서 강한 수렴으로 항등원으로 수렴하고, $\| [\sigma(a_i), Q_n \otimes P_n] \| \to 0$ 이 되도록 함으로써 quasidiagonality 가 확립된다.
• 교환자 노름 $\| [\sigma(a_i), Q_n \otimes P_n] \|$ 는 $i \leq n$ 에 대해 $4/n$ 이하로 유계이다. 이는 노름이 0으로 수렴함을 증명한다.
• 이 구성은 $G = K_n L_n$ 의 타일링 분해에 의존하며, $F_n$ 이 Følner 집합이고 $L_n$ 이 유한 지수의 정규부분군임을 포함한다.
• 이 방법은 $G$ 가 최대 거의 주기적이므로 잔류 유한한 유한 생성 부분군에 모두 적용 가능하다.
• 결과는 Pimsner와 Voiculescu의 $\mathbb{Z}$-작용에 대한 정리의 일반화이며, 일반화된 Bunce–Deddens 대수 $C(\tilde{G}) \rtimes G$ 에도 적용 가능하다.