[논문 리뷰] Quasilinear elliptic equations in $\RN$ via variational methods and Orlicz-Sobolev embeddings

Antonio Azzollini, Pietro d’Avenia외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 10.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 18인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 새로운 형태의 오르리치-소볼레프 공간 프레임워크 내에서 변분 방법을 통해 $\mathbb{R}^N$ 에서의 비선형성과 구조 함수 $\phi$ 에 대한 특정 성장 조건 하에, 비선형 타원형 방정식에 대해 비자명한 비음수 반경해를 존재함을 증명한다. 반경대칭성을 활용하여 임베딩의 컴팩턴스를 확보하고, 임계점 이론을 적용함으로써 마운틴 팠 정리와 네하리 만델라 분석을 통해 존재성 및 다중성 결과를 확보하였다.

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of a nontrivial non-negative radial solution for a quasilinear elliptic problem. Our aim is to approach the problem variationally by using the tools of critical points theory in an Orlicz-Sobolev space. A multiplicity result is also given.

연구 동기 및 목표

• 비표준 성장 행동을 갖는 $\mathbb{R}^N$ 에서의 양자선형 타원형 문제에 대해 비자명한 비음수 반경해의 존재성을 확립하기.
• 주성분의 성장률이 영과 무한대에서 다를 경우를 고려하여, 오르리치-소볼레프 공간을 활용한 적절한 함수공간 프레임워크를 개발하기.
• 비유계 영역에서의 컴팩턴스 문제를 해결하기 위해 반경대칭 함수로 제한하고, 르베그 공간으로의 컴팩트 임베딩을 증명하기.
• 특히 마운틴 팁 정리와 그 $\mathbb{Z}_2$ 대칭형을 활용한 임계점 이론을 적용하여 해의 존재성 및 다중성 결과를 도출하기.
• 반경 오르리치-소볼레프 공간 내에서 네하리 만델라 위에서 에너지 함수를 최소화함으로써 기저 상태 해를 식별하기.

제안 방법

• 함수공간 ${\cal W}_r$ 에서 $C^1$ 함수 $I(u)$ 를 정의함으로써 문제를 변분적으로 접근하였으며, 이는 $\phi(|\nabla u|^2)$, $|u|^\alpha$, 및 $|u|^s$ 의 항들을 포함한다.
• 성장률이 작은 $t$ 에서는 $t^{q/2}$ 와 유사하고 큰 $t$ 에서는 $t^{p/2}$ 와 유사한 $\phi(t)$ 를 고려하여, $1 < p < q < N$ 인 조건 하에 오르리치-소볼레프 공간을 구성하였다.
• 모든 함수공간 내 항들이 유한하고 노름에 의해 제어됨을 보장하기 위해 임베딩 정리를 확립하였으며, 이는 합된 르베그 공간 이론과 연속적 임베딩 결과에 기반한다.
• 컴팩턴스는 반경대칭 함수로 제한함으로써 확보되었으며, 균일한 감쇠 추정이 가능하고 ${\cal W}_r$ 이 $L^s(\mathbb{R}^N)$ 에 컴팩트하게 임베딩됨을 증명하였다. 여기서 $s \in (\max\{q,\alpha\}, p^*)$ 이다.
• ${\cal W}_r$ 에서 팔라이스-스무스 조건이 검증되었으며, 이는 마운틴 팁 정리와 그 대칭형을 적용하여 비자명한 해가 최소한 하나 존재하고, 다중성 결과를 도출할 수 있음을 의미한다.
• 함수 $\phi'$ 에 대한 강화된 가정 하에, 에너지 함수를 네하리 만델라 위에서 최소화하는 기저 상태 해 $\bar{u} \in {\cal W}_r$ 가 존재함을 보였으며, 이 경우 $\|\bar{u}\|$ 와 에너지 수준이 0에서 멀리 떨어져 있음을 보장하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비표준 성장 행동을 갖는 주성분을 가진 $\mathbb{R}^N$ 에서의 양자선형 타원형 방정식에 대해 비자명한 비음수 반경해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 성장률이 영과 무한대에서 다를 경우, $\phi$ 의 성장이 다르게 나타나는 상황에서 문제의 변분형식이 잘 정의되고 $C^1$ 이 되기 위해 필요한 함수공간 프레임워크는 무엇인가?
• RQ3 타원형 공간의 전이 불변성이 깨지는 비유계 영역에서, 소볼레프 공간의 컴팩트 임베딩이 손상되었을 때 컴팩턴스는 어떻게 복원할 수 있는가?
• RQ4 에너지 함수가 네하리 만델라 위에서 최소화함으로써 기저 상태 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ5 비표준 변분 설정에서 대칭 임계점 이론을 활용하여 해의 다중성을 입증할 수 있는가?

주요 결과

• 조건 $1 < p < q < N$, $\max\{q, \alpha\} < s < p^*$, 및 $1 < \alpha \leq p^* q' / p'$ 하에서, $\phi$ 가 성장 및 볼록성 조건 (Φ1)–(Φ5) 를 만족할 경우, $\mathbb{R}^N$ 에서의 양자선형 타원형 문제에 대해 비자명한 비음수 반경해가 존재한다.
• 함수 $I(u)$ 는 반경 오르리치-소볼레프 공간 ${\cal W}_r$ 에서 잘 정의되고 $C^1$ 이다. 이 공간은 $\phi$ 에 기반한 노름을 갖는 반경대칭 $C_c^\infty$ 함수들의 닫힘으로 구성된다.
• ${\cal W}_r$ 이 $L^s(\mathbb{R}^N)$ 에 컴팩트하게 임베딩되며, $s \in (\max\{q, \alpha\}, p^*)$ 를 만족함으로써 팔라이스-스무스 조건의 검증과 임계점 이론의 적용이 가능하다.
• $\mathbb{Z}_2$ 대칭형 마운틴 팁 정리를 통해 다중성 결과를 확보하였으며, 주어진 성장 및 볼록성 조건 하에 무한히 많은 해가 존재함을 보였다.
• (Φ2′) 의 강화된 가정 하에, 기저 상태 해 $\bar{u} \in {\cal W}_r$ 가 존재하며, 이는 비자명한 해 집합 위에서 에너지 함수를 최소화한다. 이 경우 $I(\bar{u}) = \min_{u \in \mathcal{S}} I(u) > 0$ 이다.
• 해 $\bar{u}$ 는 $\bar{u}^-$ 를 방정식에 대입하여 비음수임을 보였으며, 이는 否 조건에서 모순을 유도함으로써 $\bar{u} \geq 0$ a.e. 를 도출한다.