[논문 리뷰] Quasilocal angular momentum and center of mass in general relativity

Po-Ning Chen, Mu‐Tao Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 04.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 1인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론에서 최적의 등거리 임bedding을 통해 민코프스키 공간 ℝ³,¹에 임베딩하고 캐논ical 게이지 조건을 적용함으로써, 준국소적 각운동량과 질량중심에 대한 기하학적으로 일관된 새로운 정의를 제안한다. 이 방법은 좌표나 점점 가까운 대칭성에 의한 모호함이 없는 보존량을 도출하며, 진공 아인슈타인 방정식 하에서 보존 법칙을 만족하고, 평탄한 시공간에서 특수 상대성 이론으로 정확히 축소된다.

ABSTRACT

For a spacelike 2-surface in spacetime, we propose a new definition of quasi-local angular momentum and quasi-local center of mass, as an element in the dual space of the Lie algebra of the Lorentz group. Together with previous defined quasi-local energy-momentum, this completes the definition of conserved quantities in general relativity at the quasi-local level. We justify this definition by showing the consistency with the theory of special relativity and expectations on an axially symmetric spacetime. The limits at spatial infinity provide new definitions for total conserved quantities of an isolated system, which do not depend on any asymptotically flat coordinate system or asymptotic Killing field. The new proposal is free of ambiguities found in existing definitions and presents the first definition that precisely describes the dynamics of the Einstein equation.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론에서 준국소적 보존량—특히 각운동량과 질량중심—을 정의하는 데 오랫동안 지속된 모호함을 해결하기 위해.
• 기존 정의가 앓고 있는 점점 가까운 평탄한 좌표계나 점점 가까운 칼리깅 장에 의존하지 않는 정의를 개발하기 위해.
• 축대칭 시공간에서 특수 상대성 이론과 알려진 물리적 기대에 일치하도록 보장하기 위해.
• 준국소적 에너지-운동량의 프레임워크를 확장하여 준국소 수준에서의 보존량 집합을 완성하기 위해.
• 시공간 진동에 대해 불변이며 보존 법칙을 만족하는 고립계를 위한 새로운 총 보존량을 정의하기 위해.

제안 방법

• 물리적 시공간으로 되돌리기 위해 민코프스키 공간 ℝ³,¹에 대한 2차원 스피너스 표면 Σ의 최적 등거리 임베딩을 사용하여 기준 공간의 칼리깅 장을 올리기.
• 기준 민코프스키 공간의 보어트 및 회전 칼리깅 장을 사용하여 로렌츠 리 대칭의 쌍대 공간에 속하는 준국소적 각운동량과 질량중심을 정의하기.
• 해밀턴-자비 분석에서 유도된 캐논ical 게이지 조건을 적용하여 임베딩의 모호함을 제거하고 유일성을 확보하기.
• 표면 Σ 위에서의 적분을 통해 준국소적 양을 구성하기. 이는 유도된 계량장 σ_ab, 평균 곡률 벡터 |H| 및 정규선 번들의 접속 1형식 α_H를 포함한다.
• 공간 무한대에서의 극한을 취하여, 점점 가까운 좌표계나 칼리깅 장에 의존하지 않는 총 보존량(에너지-운동량, 각운동량, 질량중심)을 정의하기.
• 시간 진동 하에서 총 질량중심이 ∂ₜCⁱ = pⁱ/p⁰로 진동하고 각운동량이 보존됨을 보여줌으로써 진공 아인슈타인 방정식과의 일관성을 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점점 가까운 대칭성이나 좌표계에 의존하지 않고, 일반 상대성 이론에서 일관되고 모호하지 않은 준국소적 각운동량과 질량중심의 정의를 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 준국소적 양은 진공 아인슈타인 진동 하에서 어떻게 행동하며, 보존 법칙을 만족하는가?
• RQ3 새로운 총 보존량은 평탄한 시공간에서 특수 상대성 이론의 결과로 정확히 축소되는가?
• RQ4 새로운 정의는 시공간 미분형식에 대해 불변이며, 기준 프레임이나 좌표계의 선택에 영향을 받는가?
• RQ5 새로운 프레임워크는 보존량 수준에서 아인슈타인 방정식의 전체 역학을 포괄할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 총 각운동량은 민코프스키 시공간의 임의의 시공간 초면에서 0이 되며, 물리적 기대와 일치한다.
• 진공 아인슈타인 진동 하에서 총 각운동량은 보존되며, 킬러 시공간의 엄격한 시공간 초면 전역에서 불변이다.
• 총 질량중심은 p⁵가 애드미트-디스턴스-모멘텀 4벡터인 경우에 동역학적 공식 ∂ₜCⁱ(t) = pⁱ/p⁰에 따라 진동한다.
• 모든 진공 점점 가까운 평탄한 초기 데이터 세트에서 새로운 총 보존량은 유한하고 잘 정의되어 있다.
• 이전 정의와 달리, 제안된 준국소적 각운동량과 질량중심은 점점 가까운 좌표계나 칼리깅 장에 기인한 모호함이 없다.
• 해밀턴 제약 및 진동 방정식에서 유도된 보존 법칙과 진동 방정식을 통해, 이 프레임워크는 진공 아인슈타인 방정식의 역학을 완전히 포괄한다.