[논문 리뷰] Quasilocal Energy in Kerr Spacetime

Jianliang Liu, Luen-Fai Tam|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 18.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 4차원 등장성 매칭 방법을 사용하여 미ン코프스키 배경을 기준으로 측정한 케르 시공간 내의 국소적 에너지(quasilocal energy, QLE)가 에르고스피어 외부의 일정 반경 표면에서 브라운-요르크 국소적 에너지와 정확히 일치함을 입증한다. 적절한 임bedding 조건 하에서 임계 QLE 값이 유일하게 유도되고 증명되며, 소규모 회전 근처에서 극값 해가 수축된 해로 나타남을 보여준다.

ABSTRACT

In this work we study the quasilocal energy as in [11] for a constant radius surface in Kerr spacetime in Boyer-Lindquist coordinates. We show that under suitable conditions for isometric embedding, for a stationary observer the quasilocal energy defined in [11] for constant radius in a Kerr like spacetime is exactly equal to the Brown-York quasilocal energy [2]. By some careful estimations, we show that for a constant radius surface in the Kerr spacetime which is outside the ergosphere the embedding conditions for the previous result are satisfied. We discuss extremal solutions as described in [14]. We prove a uniqueness result. We find all extremal solutions in the Minkowski spacetime. Finally, we show that near the horizon of the Kerr spacetime for the small rotation case the extremal solutions are trivial.

연구 동기 및 목표

• 4차원 등장성 매칭을 통해 케르 시공간에서 정의된 국소적 에너지(quasilocal energy, QLE)가 기존에 알려진 브라운-요르크 국소적 에너지와 일치하는지 확인하는 것.
• 에르고스피어 외부의 일정 반경 표면에 대해 등장성 매칭 조건이 성립하는지 검증하는 것.
• QLE 변분 원리의 맥락에서 극값 해의 구조와 유일성에 대한 연구.
• 미니어스키 시공간 내 극값 해의 행동과 케르 시공간의 사건의 지평선 근처에서의 행동, 특히 소규모 회전 근처에서의 행동 분석.

제안 방법

• 4차원 등장성 매칭 조건 $g_{\mu\nu} \doteq \bar{g}_{\mu\nu}$를 적용한 코바리언트 해밀토니안 체계에서 유도된 채인-네스터-퉁(CNT) 국소적 에너지 표현식을 사용한다.
• CNT 체계의 경계항 $\mathcal{B}(\mathbf{N})$을 적용하며, $4D$ 매칭 조건 하에서 $\Delta\Gamma^{\alpha}{}_{\beta}$ 및 $\iota_{\mathbf{N}}\eta_{\alpha}{}^{\beta}$에만 의존하도록 단순화한다.
• 특정 매칭 앤사트 $T(t,r,\theta), X=\rho\cos(\varphi+\Phi), Y=\rho\sin(\varphi+\Phi), Z(t,r,\theta)$ 와 $\mathbf{N} = \partial_T$ 를 도입한다.
• QLE 함수의 임계점 조건에서 매핑 함수 $x = T_r, y = T_\theta$ 에 대한 상미분방정식계를 유도한다.
• 보조 함수 $\Psi$, $W$, 에너지 추정을 사용한 상세한 점근적 및 비교 분석을 통해 해의 유일성과 수축성의 증명을 수행한다.
• 항등식 $\ell = y^2 + \Sigma^2$ 와 $\alpha^2 = x^2\Sigma^2 + R^2\ell$ 을 사용하여 $\mathcal{B}(\partial_T)$ 의 최종 표현식을 단순화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4차원 등장성 매칭을 통해 케르 시공간에서 정의된 국소적 에너지가 일정 반경 표면에서 브라운-요르크 국소적 에너지와 일치하는가?
• RQ2 케르 시공간 외부의 표면에서 QLE 구성에 필요한 등장성 매칭 조건이 성립하는가?
• RQ3 케르 시공간 내 QLE 변분 문제의 극값 해의 구조와 유일성은 어떠한가?
• RQ4 소규모 회전 근처에서 케르 시공간의 사건의 지평선 근처에서 극값 해는 수축된 해인가?
• RQ5 미니어스키 시공간 내 극값 해는 무엇이며, 일반적 프레임워크와의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 논문 [11]에서 일정 반경 표면에 대해 정의된 케르 시공간 내 국소적 에너지는 지정된 매칭 조건 하에서 브라운-요르크 국소적 에너지와 정확히 일치한다.
• 브라운-요르크 에너지와 일치하기 위해 요구되는 매칭 조건은 케르 시공간의 에르고스피어 외부 표면에서 성립한다.
• 유일성 결과가 입증되었으며, 임계점 방정식을 만족하는 유일한 극값 해는 자명한 해, 즉 $x \equiv 0$, $y \equiv 0$ 이다.
• 미니어스키 시공간에서는 모든 극값 해가 자명하며, 이는 유일성 결과와 일치한다.
• 소규모 회전 근처에서 케르 시공간의 사건의 지평선 근처에서는 극값 해가 자명하며, 이는 이 영역 내에서 비자명한 임계 구성이 존재하지 않음을 시사한다.
• 최종적으로 경계항 $\mathcal{B}(\partial_T)$ 의 표현식은 $A/D$, $C/D$, $AH_\theta/(D\beta\ell)$ 를 포함하는 형태로 단순화되었으며, 이는 변분 접근의 일관성을 확인한다.