[논문 리뷰] Quasimodular forms, Jacobi-like forms, and pseudodifferential operators

YoungJu Choie, Min-Ho Lee|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 27.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 21인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 편미분 연산자와 잭비-유사 형식 사이의 깊은 연결 고리를 구축함으로써, 쿼시모듈라 형식과 잭비-유사 형식, 편미분 연산자 간의 관계를 확립한다. 특히, 쿼시모듈라 형식에서 잭비-유사 형식으로의 오른쪽 역함수(올림)를 구성함으로써, 리 괄목, 랭킨-코헨 괄목, 헤크 연산자, 심우라 동형사상 등의 이론을 쿼시모듈라 설정에서 연구할 수 있게 하였다. 주요 기여는 반정수 차수 형식에 대한 신티아니 올림과 심우라 대응의 쿼시모듈라 해석이다.

ABSTRACT

We study various properties of quasimodular forms by using their connections with Jacobi-like forms and pseudodifferential operators. Such connections are made by identifying quasimodular forms for a discrete subgroup $\G$ of $SL(2, \bR)$ with certain polynomials over the ring of holomorphic functions of the Poincaré upper half plane that are $\G$-invariant. We consider a surjective map from Jacobi-like forms to quasimodular forms and prove that it has a right inverse, which may be regarded as a lifting from quasimodular forms to Jacobi-like forms. We use such liftings to study Lie brackets and Rankin-Cohen brackets for quasimodular forms. We also discuss Hecke operators and construct Shimura isomorphisms and Shintani liftings for quasimodular forms.

연구 동기 및 목표

• 쿼시모듈라 형식, 잭비-유사 형식, 편미분 연산자 간의 통합 프레임워크를 다항식 및 형식적 멱급수 구성에 기반해 수립하기.
• 쿼시모듈라 설정에서 리 괄목, 랭킨-코헨 괄목, 헤크 연산자에 대한 체계적 도구의 부족 문제를 해결하기.
• 특히 반정수 차수 형식에 대한 고전적 모듈라 형식 대응—즉, 심우라 동형사상과 신티아니 올림—을 쿼시모듈라 경우로 확장하기.
• 쿼시모듈라 형식에서 잭비-유사 형식으로의 오른쪽 역함수(올림)를 구성함으로써, 후자의 구조를 전이할 수 있도록 하기.
• 구성된 사상의 헤크 호환성(Hecke equivariance)을 확립하여 모듈라 형식의 산수 이론과의 호환성을 보장하기.

제안 방법

• 상반평면 $\mathcal{H}$ 위의 정칙 함수 위에 $\Gamma$-불변 다항식 $F(z,X) = \sum_{r=0}^m f_r(z)X^r$로 쿼시모듈라 형식의 무게 $w$와 깊이 $m$를 표현한다.
• 잭비-유사 형식(계수들이 $\Gamma$-불변인 형식적 멱급수)에서 쿼시모듈라 형식으로의 전사 사상을 구성하고, 이 사상에 대한 오른쪽 역함수(올림)의 존재를 증명한다.
• 이 올림을 통해 구조를 전이한다: 리 대수의 구조와 랭킨-코헨 괄목이 쿼시모듈라 다항식 공간에 정의된다.
• 다항식 위의 $SL(2,\mathbb{R})$의 오른쪽 작용을 통해 쿼시모듈라 다항식에 대한 헤크 연산자를 정의하며, 이는 고전적 헤크 연산자와 호환된다.
• 반정수 차수의 쿼시모듈라 형식을 도입하고, 감마 함수와 모듈라 형식의 도함수를 사용하여 정의된 사상 $\operatorname{\text{${{}_{Q}}$}\Theta}^{m,m',r}_{\lambda,\chi}$를 통해 쿼시모듈라 해석의 신티아니 올림을 구성한다.
• 쿼시모듈라 신티아니 사상이 고전적 신티아니 사상과 $\Xi^{2(\lambda+r)}_{m'-r}$ 연산자와 연결된 교환 다이어그램을 구성함으로써, 헤크 호환성과 타당성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿼시모듈라 형식에서 잭비-유사 형식으로의 오른쪽 역함수(올림)를 구성할 수 있으며, 이 올림이 어떤 구조를 유지하는가?
• RQ2 잭비-유사 형식으로의 올림을 통해 쿼시모듈라 형식에 대한 리 괄목과 랭킨-코헨 괄목을 어떻게 정의하고 연구할 수 있는가?
• RQ3 쿼시모듈라 형식에 대한 헤크 연산자를 다항식 위의 $SL(2,\mathbb{R})$-작용을 통해 정의하고, 이가 고전적 헤크 연산자와 호환되는가?
• RQ4 반정수 차수 형식에 대한 쿼시모듈라 심우라 동형사상과 신티아니 올림의 해석은 무엇인가?
• RQ5 구성된 쿼시모듈라 신티아니 사상 $\operatorname{\text{${{}_{Q}}$}\Theta}^{m,m',r}_{\lambda,\chi}$는 헤크 호환성과 고전적 사상과 호환되는가?

주요 결과

• 쿼시모듈라 형식 공간에서 잭비-유사 형식으로의 오른쪽 역함수(올림)가 존재하며, 이를 통해 리 괄목, 랭킨-코헨 괄목 등의 구조를 전이할 수 있다.
• 이 올림을 통해 쿼시모듈라 다항식 공간에 리 대수의 구조를 구성하고, 쿼시모듈라 형식에 대한 랭킨-코헨 괄목을 정의할 수 있다.
• 쿼시모듈라 다항식에 대한 헤크 연산자는 $SL(2,\mathbb{R})$-작용을 통해 정의되며, 잭비-유사 형식으로의 전사 사상과의 헤크 호환성이 입증된다.
• 쿼시모듈라 신티아니 올림 사상 $\operatorname{\text{${{}_{Q}}$}\Theta}^{m,m',r}_{\lambda,\chi}$는 $QP_{2\lambda-1+2m}^{m-r}(\Gamma_0(M),\chi^2)$에서 $QP_{2m'+\lambda-r}^{m'-r}(\Gamma_0(4M),\chi')$로의 헤크 호환성 $\mathbb{C}$-선형 사상이다.
• 사상 $\operatorname{\text{${{}_{Q}}$}\Theta}^{m,m',r}_{\lambda,\chi}$는 고전적 신티아니 사상 $\Theta_{\lambda+r,\chi}$, $\mathfrak{S}_{m-r}$, $\Xi^{2(\lambda+r)}_{m'-r}$와 함께 교환 다이어그램에 포함되며, 이는 호환성과 헤크 호환성을 증명한다.
• 전체 사상 $\bigoplus_{r=0}^{m}\operatorname{\text{${{}_{Q}}$}\Theta}^{m,m',r}_{\lambda,\chi}$는 $QP_{2\lambda-1+2m}^{m}(\Gamma_0(M),\chi^2)$에서 $\bigoplus_{r=0}^{m}QP_{2m'+\lambda-r}^{m'-r}(\Gamma_0(4M),\chi')$로의 헤크 호환성 $\mathbb{C}$-선형 사상이다.