[논문 리뷰] Quasipolynomial-time Identity Testing of Non-Commutative and Read-Once Oblivious Algebraic Branching Programs

Michael A. Forbes, Amir Shpilka|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 11.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 독한 한 번의 순서가 지정된 대칭 브랜치 프로그램(ABPs)에 대한 첫 번째 다항시간 이하의 블랙박스 식별 검증 알고리즘을 제안하며, $S$가 회로 크기일 때 크기 $\exp(\lg^2 S)$의 히팅 세트를 달성한다. 이 방법은 평가 차원과 부분 도함수 행렬을 활용하여 ABPs 및 관련 클래스에 대해 효율적인 결정적 PIT를 구성한다. 이들 클래스에는 비가환 ABPs와 (반)대각선 깊이-4 회로가 포함된다.

ABSTRACT

We study the problem of obtaining deterministic black-box polynomial identity testing algorithms (PIT) for algebraic branching programs (ABPs) that are read-once and oblivious. This class has an deterministic white-box polynomial identity testing algorithm (due to Raz and Shpilka), but prior to this work there was no known such black-box algorithm. The main result of this work gives the first quasi-polynomial sized hitting sets for size S circuits from this class, when the order of the variables is known. As our hitting set is of size exp(lg^2 S), this is analogous (in the terminology of boolean pseudorandomness) to a seed-length of lg^2 S, which is the seed length of the pseudorandom generators of Nisan and Impagliazzo-Nisan-Wigderson for read-once oblivious boolean branching programs. Our results are stronger for branching programs of bounded width, where we give a hitting set of size exp(lg^2 S/lglg S), corresponding to a seed length of lg^2 S/lglg S. This is in stark contrast to the known results for read-once oblivious boolean branching programs of bounded width, where no pseudorandom generator (or hitting set) with seed length o(lg^2 S) is known. In follow up work, we strengthened a result of Mulmuley, and showed that derandomizing a particular case of the Noether Normalization Lemma is reducible to black-box PIT of read-once oblivious ABPs. Using the results of the present work, this gives a derandomization of Noether Normalization in that case, which Mulmuley conjectured would difficult due to its relations to problems in algebraic geometry. We also show that several other circuit classes can be black-box reduced to read-once oblivious ABPs, including set-multilinear ABPs (a generalization of depth-3 set-multilinear formulas), non-commutative ABPs (generalizing non-commutative formulas), and (semi-)diagonal depth-4 circuits (as introduced by Saxena).

연구 동기 및 목표

• 독한 한 번의 순서가 지정된 대칭 브랜치 프로그램(ABPs)에 대해 화이트박스와 블랙박스 다항식 식별 검증(PIT) 간 격차를 해소하기 위해, 화이트박스 알고리즘이 알려져 있으나 블랙박스 알고리즘이 없는 상황에서의 연구.
• 크기 $S$와 알려진 변수 순서를 가진 ABPs에 대해 결정적 블랙박스 PIT 알고리즘을 구성하고, 다항시간 이하의 런타임을 달성하기 위해.
• 결과를 비가환 ABPs, 집합-다항식 ABPs, (반)대각선 깊이-4 회로를 포함한 더 넓은 회로 클래스로 확장하기 위해.
• 특정 경우의 노에터 정규화 렘마의 랜덤화 제거가 독한 한 번의 순서가 지정된 ABPs의 블랙박스 PIT로 감소됨을 보여주기 위해.
• 평가 차원이 작은 평가 차원을 가진 다항식에 대해 블랙박스 PIT를 가능하게 하는 유용한 구조적 파라미터임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 다항식의 평가 차원을 정의하고 분석하며, 이는 임의의 변수 부분집합에 대해 그 제약의 스칼라 공간의 최대 차원이다.
• 다항식의 평가 차원이 $r$이라면, 너비 $\leq rn^2$와 깊이 $D$를 가진 독한 한 번의 순서가 지정된 ABP로 계산될 수 있음을 증명한다.
• 비가환 ABP 이론에서 유래한 부분 도함수 행렬 기법을 사용하여 주어진 다항식을 계산하는 ABP의 너비를 제한한다.
• 평가 차원과 변수 순서를 활용하여 크기 $S$의 독한 한 번의 순서가 지정된 ABPs에 대해 크기 $\exp(\lg^2 S)$의 히팅 세트를 구성한다.
• 비가환 ABPs에 대해 히팅 세트 구성 기법을 적용하기 위해 $(D+1)\times(D+1)$ 행렬에서 평가한다. 여기서 $D$는 ABP의 깊이다.
• 반대각선 깊이-4 회로의 PIT를 독한 한 번의 순서가 지정된 ABPs의 PIT로 감소시키며, 동시 연구와 동등한 다항시간 이하의 블랙박스 알고리즘을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 화이트박스 알고리즘이 알려져 있으나 블랙박스 알고리즘이 없는 독한 한 번의 순서가 지정된 ABPs에 대해 결정적 블랙박스 PIT 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ2 다항식의 평가 차원이 더 넓은 다항식 클래스에 대해 블랙박스 PIT를 가능하게 하는 구조적 파라미터로 사용될 수 있는가?
• RQ3 비가환 ABPs에 대해 다항시간 이하의 런타임을 가지는 블랙박스 PIT 알고리즘이 존재하는가?
• RQ4 노에터 정규화 렘마의 랜덤화 제거가 독한 한 번의 순서가 지정된 ABPs의 블랙박스 PIT로 감소되는가?
• RQ5 ABP 관련 클래스에 대한 블랙박스 PIT의 다항시간 이하의 오버헤드를 다항시간으로 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 크기 $S$의 독한 한 번의 순서가 지정된 ABPs에 대해 크기 $\exp(\lg^2 S)$의 히팅 세트를 구성하며, 이는 다항시간 이하의 블랙박스 PIT 알고리즘을 도출한다.
• 너비가 유계된 ABPs의 경우, 히팅 세트 크기는 $\exp(\lg^2 S / \lg \lg S)$이며, 일반적인 경우보다 크게 작고 기존의 부울 허위난수 생성 결과를 초월한다.
• 평가 차원 $\leq r$인 $n$변수, 차수 $d$의 다항식 클래스는 시간 $\poly(n,d,r)^{\mathcal{O}(\lg n)}$ 내에서 블랙박스 PIT를 수행할 수 있다.
• 비가환 ABPs에 대해 $(D+1)\times(D+1)$ 행렬에서 평가함으로써, 루프 크기에 대해 다항시간 이하의 런타임을 가지는 블랙박스 PIT를 확보한다.
• 논문은 반대각선 깊이-4 회로의 PIT를 독한 한 번의 순서가 지정된 ABPs의 PIT로 감소시키며, 최신 기술 수준에 맞는 다항시간 이하의 알고리즘을 달성한다.
• 클리반스와 스피르카의 재구성 알고리즘을 결합함으로써, 집합-다항식 및 비가환 ABPs를 포함한 모든 연구된 회로 클래스에 대해 결정적 재구성을 달성한다.