[논문 리뷰] Quasisymmetric rigidity in one-dimensional dynamics

Trevor Clark, Sebastian van Strien|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 23.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 47인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 실수 및 복소 bound, 다항형 매핑, 쌍곡형 등각 동치를 분석하여 일차원 동역계에서 준대칭적 강성(quasisymmetric rigidity)을 확립한다. 초점이 있는 초점과 무한히 재정규화 가능한 시스템이 준대칭 동치 하에서 강성을 보임을 증명하며, 주요 결과로는 지속적인 상자 매핑과 초점의 영역 내 외부 동치에 대한 내용을 포함한다.

ABSTRACT

In the late 1980's Sullivan initiated a programme to prove quasisymmetric rigidity in one-dimensional dynamics: interval or circle maps that are topologically conjugate are quasisymmetrically conjugate (provided some obvious necessary assumptions are satisfied). The aim of this paper is to conclude this programme in a natural class of $C^3$ mappings. Examples of such rigidity were established previously, but not, for example, for real polynomials with non-real critical points. Our results are also new for analytic mappings. The main new ingredients of the proof in the real analytic case are (i) the existence of infinitely many (complex) domains associated to its complex analytic extension so that these domains and their ranges are compatible, (ii) a methodology for showing that combinatorially equivalent complex box mappings are qc conjugate, (iii) a methodology for constructing qc conjugacies in the presence of parabolic periodic points. For a $C^3$ mapping, the dilatation of a high iterate of any complex extension of the real map will in general be unbounded. To deal with this, we introduce dynamically defined $qc\backslash bg$ $partitions$, where the appropriate mapping has bounded quasiconformal dilatation, except on sets with "bounded geometry". To obtain such a partition we prove that we have very good geometric control for infinitely many dynamically defined domains. Some of these results are new even for real polynomials, and in fact an important sequence of domains turn out to be quasidiscs. This technology also gives a new method for dealing with the infinitely renormalizable case. We will briefly also discuss why quasisymmetric rigidity is such a useful property in one-dimensional dynamics.

연구 동기 및 목표

• 초점이 있는 일차원 동역계에서 준대칭적 강성을 확립하기 위해.
• 복소 및 실수 bound를 분석하여 무한히 재정규화 가능한 시스템의 강성을 분석하기 위해.
• 초점의 영역 내에서 준대칭 외부 동치의 존재를 증명하기 위해.
• 지속적인 상자 매핑과 중심 연쇄 구조를 포함하는 시스템으로 강성 결과를 확장하기 위해.
• 준대칭 동치 하에서 순환점 및 임계점에서의 국소 동역학을 조사하기 위해.

제안 방법

• 재정규화된 매핑의 기하학을 제어하기 위해 복소 bound와 실수 bound를 활용한다.
• 다항형 매핑과 준대칭 원판을 사용하여 준대칭 분할을 구성한다.
• 지속적인 동역학을 분석하기 위해 중심 성분에 대한 qcg 분할을 적용한다.
• 정리 LABEL:thm:external_conjugacy를 통해 준대칭 외부 동치의 존재를 확립한다.
• 접촉 상자 매핑과 그 강성에 대해 정리 LABEL:thm:touching_box_map를 이용해 분석한다.
• 점근적으로 해석적 매핑과 수정된 델타-좋은 분할을 적용하여 왜곡을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초점이 있는 일차원 동역계에서 준대칭적 강성이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 복소 및 실수 bound는 재정규화 가능한 시스템에서 상자 매핑의 지속성에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 무한히 재정규화 가능한 임계점이 있는 시스템의 강성에서 준대칭 동치의 역할은 무엇인가?
• RQ4 중심 연쇄 구조와 지속적인 상자 매핑은 동역계의 강성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 동일한 동역계 클래스에 속하는 매핑들 사이에서 외부 동치가 존재하는 설정은 어떤 경우인가?

주요 결과

• 정리 LABEL:thm:box_mapping_persistent는 재정규화 하에서 상자 매핑의 지속성을 증명한다.
• 정리 LABEL:thm:external_conjugacy는 초점의 영역 내 준대칭 외부 동치의 존재를 증명한다.
• 제안사항 LABEL:prop:rigidity_attracting는 준대칭 동치를 통한 초점의 강성을 확인한다.
• 정리 LABEL:thm:central_cascades는 무한히 재정규화 가능한 시스템에서 중심 연쇄의 강성을 나타낸다.
• 제안사항 LABEL:prop:good_bounds 및 LABEL:prop:modified_delta_nice는 준대칭 분할 내 왜곡을 제어하는 데 기여한다.
• 정리 LABEL:thm:box_mapping_reluctant는 복소 bound 하에서 무한한 분지가 있는 시스템으로 강성 결과를 확장한다.