[논문 리뷰] Quasitoric manifolds over a product of simplices

Suyoung Choi, Mikiya Masuda외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 03. 19.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 단체의 곱 위의 준토릭 다양체와 작은 커버를 조사하며, 모든 소마니드 커버가 그러한 다면체 위에서 일반화된 보트 다양체와 동치임을 보이고, 준토릭 다양체는 오직 그가 토르 작용에 관해 불변적인 거의 복소 구조를 갖는 경우에만 일반화된 보트 다양체와 동치임을 밝힌다. 더불어, 준토릭 다양체가 복소 프로젝티브 공간의 곱과 동일한 유리수 코homology 링을 갖는다면, 그것은 일반화된 보트 다양체와 호메오멀피임을 보인다.

ABSTRACT

A quasitoric manifold (resp. a small cover) is a $2n$-dimensional (resp. an $n$-dimensional) smooth closed manifold with an effective locally standard action of $(S^1)^n$ (resp. $(\mathbb Z_2)^n$) whose orbit space is combinatorially an $n$-dimensional simple convex polytope $P$. In this paper we study them when $P$ is a product of simplices. A generalized Bott tower over $\F$, where $\F=\C$ or $\R$, is a sequence of projective bundles of the Whitney sum of $\F$-line bundles starting with a point. Each stage of the tower over $\F$, which we call a generalized Bott manifold, provides an example of quasitoric manifolds (when $\F=\C$) and small covers (when $\F=\R$) over a product of simplices. It turns out that every small cover over a product of simplices is equivalent (in the sense of Davis and Januszkiewicz \cite{DJ}) to a generalized Bott manifold. But this is not the case for quasitoric manifolds and we show that a quasitoric manifold over a product of simplices is equivalent to a generalized Bott manifold if and only if it admits an almost complex structure left invariant under the action. Finally, we show that a quasitoric manifold $M$ over a product of simplices is homeomorphic to a generalized Bott manifold if $M$ has the same cohomology ring as a product of complex projective spaces with $\Q$ coefficients.

연구 동기 및 목표

• 단체의 곱 위의 준토릭 다양체와 소마니드 커버를 행렬 표현을 통해 분류하기.
• 이러한 다양체가 언제 일반화된 보트 다양체와 동치가 되는지 결정하기.
• 코homological 동치가 위상적 동치(호메오멀피)로 이어지는 조건 설정하기.

제안 방법

• 토르 작용을 코딩하는 벡터 행렬을 통해 단체의 곱 위의 준토릭 다양체와 소마니드 커버를 표현하기.
• 코homology 링의 구조를 이용해 유리수 위에서의 '코homologically product'를 생성자와 관계식을 통해 정의하기.
• 다면체의 곱에 포함된 단체의 수에 대한 귀납법을 적용하여 면 부분다양체 분석하기.
• 코homological 가정 하에 벡터 행렬을 단순화하기 위해 블록 상부삼각행렬 분해를 사용하기.
• 코homology 생성자 간의 역행렬 관계를 이용해 벡터 행렬의 구조 분석하기.
• 레마 7.4를 적용하여 비유니포텐트 형태의 행렬을 배제함으로써 유니포텐트 상부삼각행렬 형태로 도달하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단체의 곱 위의 준토릭 다양체가 언제 일반화된 보트 다양체와 동치가 되는가?
• RQ2 준토릭 다양체의 코homology 링과 그 단체의 곱 위의 위상적 유형 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 모든 소마니드 커버가 단체의 곱 위에서 일반화된 보트 다양체와 동치인가?
• RQ4 유리수 코homological 동치가 언제 일반화된 보트 다양체와의 호메오멀피로 이어지는가?
• RQ5 코homological 가정 하에 준토릭 다양체의 벡터 행렬가 유니포텐트 상부삼각행렬 형태로 변환될 수 있는가?

주요 결과

• 단체의 곱 위의 모든 소마니드 커버는 일반화된 보트 다양체와 동치이다.
• 단체의 곱 위의 준토릭 다양체는 오직 그가 토르 작용에 관해 불변적인 거의 복소 구조를 갖는 경우에만 일반화된 보트 다양체와 동치이다.
• 준토릭 다양체가 복소 프로젝티브 공간의 곱과 동일한 유리수 코homology 링을 갖는다면, 그것은 일반화된 보트 다양체와 호메오멀피이다.
• 유리수 위에서의 코homologically product 조건 하에, 준토릭 다양체의 벡터 행렬은 유니포텐트 상부삼각행렬과 코어스폰던스(유사)하다.
• 유리수 위에서의 코homologically product인 준토릭 다양체의 면 부분다양체 역시 유리수 위에서의 코homologically product이다.
• 코homology 생성자 행렬은 블록 상부삼각행렬이며, 그 가역성은 영이 아닌 대각 블록을 보장하여 귀납적 감소를 가능하게 한다.